信號與系統——周期信號的傅里葉變換

本文轉載自查看原文 2021-06-18 12:29 444

已知周期矩形脈沖信號 f(t) 的幅度為，脈寬為 $\tau$ ，周期為 $T_{1}$ ，角頻率為 $w_{1} = 2\pi /T_{1}$ ，如下圖所示：

求出該周期矩形脈沖信號的傅里葉級數與傅里葉變換。

首先我們知道矩形脈沖 $f_{0}(t)$ 的傅里葉變換 $F_{0}(w)$ 等於 $F_{0}(w) = E\tau Sa(\frac{w\tau }{2})$ ，根據 $F_{n} = \frac{1}{T_{1}}F_{0}(w)\mid {_{w=nw_{1}}}$

所以我么可以求出周期矩形脈沖信號的傅里葉級數 $F_{n}$ ，所以 $F_{n} = \frac{1}{T_{1}}F_{0}(w)\mid {_{w=nw_{1}}} = \frac{E\tau }{T_{1}}Sa(\frac{nw_{1}\tau }{2})$

所以可以得到 f(t) 的傅里葉級數為 $f(t) = \frac{E\tau }{T_{1}}\sum_{n=-\infty }^{\infty }Sa(\frac{nw_{1}\tau }{2})e^{jnw_{1}t}$

根據周期信號的傅里葉級數為

可得到 $F(w) = 2\pi \sum_{n=-\infty }^{\infty } F_{n}\sigma (w-nw_{1})=E\tau w_{1}\sum_{n=-\infty }^{\infty } Sa(\frac{nw^{1}t}{2})\sigma (w-nw_{1})$

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