信号与系统——周期信号的傅里叶变换

本文转载自查看原文 2021-06-18 12:29 444

已知周期矩形脉冲信号 f(t) 的幅度为，脉宽为 $\tau$ ，周期为 $T_{1}$ ，角频率为 $w_{1} = 2\pi /T_{1}$ ，如下图所示：

求出该周期矩形脉冲信号的傅里叶级数与傅里叶变换。

首先我们知道矩形脉冲 $f_{0}(t)$ 的傅里叶变换 $F_{0}(w)$ 等于 $F_{0}(w) = E\tau Sa(\frac{w\tau }{2})$ ，根据 $F_{n} = \frac{1}{T_{1}}F_{0}(w)\mid {_{w=nw_{1}}}$

所以我么可以求出周期矩形脉冲信号的傅里叶级数 $F_{n}$ ，所以 $F_{n} = \frac{1}{T_{1}}F_{0}(w)\mid {_{w=nw_{1}}} = \frac{E\tau }{T_{1}}Sa(\frac{nw_{1}\tau }{2})$

所以可以得到 f(t) 的傅里叶级数为 $f(t) = \frac{E\tau }{T_{1}}\sum_{n=-\infty }^{\infty }Sa(\frac{nw_{1}\tau }{2})e^{jnw_{1}t}$

根据周期信号的傅里叶级数为

可得到 $F(w) = 2\pi \sum_{n=-\infty }^{\infty } F_{n}\sigma (w-nw_{1})=E\tau w_{1}\sum_{n=-\infty }^{\infty } Sa(\frac{nw^{1}t}{2})\sigma (w-nw_{1})$

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