信号与系统——典型非周期信号的傅里叶变换

本文转载自查看原文 2021-05-13 09:34 262

单边指数信号

我们设单边指数信号的表达式为

其中 $\alpha$ 为正实数。则

$F(\omega ) = \int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt = \int_{0 }^{\infty }e^{-at}e^{-j\omega t}dt = \int_{0 }^{\infty }e^{-(a+j\omega)t }dt$

得 $F(\omega ) = \frac{1}{a+j\omega }$ $\left | F(w) \right | = \frac{1}{\sqrt{a^{2}+w^{2}}}$ $\varphi (w) = - arctan(\frac{w}{a})$ ，其波形分别为

双边指数信号

设双边指数信号的表达式为 $f(t) = e^{-a\left | t \right |} (-\infty < t <+\infty )$ ，其中为正实数。

$F(W) = \int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt = \int_{-\infty }^{\infty }e^{-a\left | t \right |}e^{-jwt}dt$ ，所以可得

$F(w) = \frac{2a}{a^{2}+w^{2}}$ $\left |F(w) \right | = \frac{2a}{a^{2}+w^{2}}$ $\varphi (w) = 0$ ，其波形如下图所示

矩形脉冲信号

已知矩形脉冲信号的表示式为 $f(t) = E[u(t+\frac{\tau }{2})-u(t-\frac{\tau }{2})]$ ，其中为脉冲幅度， $\tau$ 为脉冲宽度。

故 $F(w) = \int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt = \int_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}Ee^{-jwt}dt = \frac{2E}{w}sin\left ( \frac{w\tau }{2} \right ) = E\tau \left [ \frac{sin(\frac{w\tau }{2})}{\frac{w\tau }{2}}\right ]$

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