傅氏變換分析是信號分析中很重要的方法，借助matlab可以很方便的對各類信號進行傅氏頻域分析。本文介紹了集中離散的傅氏變換以及matlab實現方法。
1.離散序列的傅里葉變換DTFT(Discrete Time Fourier Transform)
代碼：
1 N=8; %原離散信號有8點 2 n=[0:1:N-1] %原信號是1行8列的矩陣 3 xn=0.5.^n; %構建原始信號，為指數信號 4 5 w=[-800:1:800]*4*pi/800; %頻域共-800----+800 的長度（本應是無窮，高頻分量很少，故省去） 6 X=xn*exp(-j*(n'*w)); %求dtft變換，采用原始定義的方法，對復指數分量求和而得 7 subplot(311) 8 stem(n,xn); 9 title('原始信號(指數信號)'); 10 subplot(312); 11 plot(w/pi,abs(X)); 12 title('DTFT變換')
結果：
分析：可見，離散序列的dtft變換是周期的，這也符合Nyquist采樣定理的描述，連續時間信號經周期采樣之后，所得的離散信號的頻譜是原連續信號頻譜的周期延拓。
2.離散傅里葉變換DFT(Discrete Fourier Transform)
與1中DTFT不一樣的是，DTFT的求和區間是整個頻域，這對計算機的計算來說是不可以實現的，DFT就是序列的有限傅里葉變換。實際上，1中我給的代碼也只是對頻域的-800----+800中間的1601點求了和，也不是無數次求和。
實現代碼：
N=8; %原離散信號有8點
n=[0:1:N-1] %原信號是1行8列的矩陣
xn=0.5.^n; %構建原始信號，為指數信號
w=[-8:1:8]*4*pi/8; %頻域共-800----+800 的長度（本應是無窮，高頻分量很少，故省去）
X=xn*exp(-j*(n'*w)); %求dtft變換，采用原始定義的方法，對復指數分量求和而得
subplot(311)
stem(n,xn);
w1=[-4:1:4]*4*pi/4;
X1=xn*exp(-j*(n'*w1));
title('原始信號(指數信號)');
subplot(312);
stem(w/pi,abs(X));
title('原信號的16點DFT變換')
subplot(313)
stem(w1/pi,abs(X1));
title('原信號的8點DFT變換')
結果圖：
分析：DFT只是DTFT的現實版本，因為DTFT要求求和區間無窮，而DFT只在有限點內求和。
3.快速傅里葉變換FFT（Fast Fourier Transform）
雖然DFT相比DTFT縮減了很大的復雜度，但是任然有相當大的計算量，不利於信息的實時有效處理，1965年發現的DFT解決了這一問題。
實現代碼：
1 N=64; %原離散信號有8點 2 n=[0:1:N-1] %原信號是1行8列的矩陣 3 xn=0.5.^n; %構建原始信號，為指數信號 4 Xk=fft(xn,N); 5 subplot(221); 6 stem(n,xn); 7 title('原信號'); 8 subplot(212); 9 stem(n,abs(Xk)); 10 title('FFT變換')
效果圖：
分析：由圖可見，fft變換的頻率中心不在0點，這是fft算法造成的，把fft改為fftshift可以將頻率中心移到0點。