傅里葉變換

周期函數的傅里葉變換

傅里葉變換最開始需要從傅里葉級數開始講起

• 傅里葉級數

  一個周期信號\(f(t)\), 周期為\(T\)， 角頻率為 \(w_0 = 2\pi f_0 = \frac{2\pi}{T}\)，可以展開成如下形式:

  \[\begin{align*} 三角函數基的傅里葉展開： f(t) &= a_0 + a_1\cos w_0 t + a_2\cos 2w_0 t + a_3\cos 3w_0 t + ... \\ & \hspace{1.2cm} + b_1\sin w_0 t + b_2\sin 2w_0 t + b_3\sin 3w_0 t + ... \\ &= a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nw_0t+b_n\sin nw_0t) \end{align*} \]

從含義上理解，我們知道是用無限個縮放周期去擬合這個模擬函數，如下圖：

但從數學上解釋，仔細觀察，就知道就可以體會到\(f(t)\)在\(cosnw_0 t\)以及\(\sin nw_0t\)做分解，之所以能這么分解是因為正余弦組成了一組正交基

介紹正交基之前要先知道函數的正交性： 高中知識告訴我們 一個二維空間的向量是由x, y軸的單位向量\(\vec{x}=(1,0), \vec{y}=(0,1)\)構成，這倆個向量具有正交性，因為它們的內積(投影)為:\(\vec{x} · \vec{y}= 1 * 0 + 0 * 1 = 0\), 同樣把正交擴展至函數，當函數的內積如果為0那么兩個函數正交，比如說兩個函數 \(f(x) 和 g(x)\), 那么$ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)g(x)dx = 0$, 則它們正交，向量空間的內積是對應每一維相乘然后算總和，而函數可以微分化后看成無線維，所以函數的內積運算是積分

\(cosnw_0 t\)以及\(\sin nw_0t\)實際上構成的正交函數，它們之中任意兩個內積為0（很好證明），所以可以用他們來做基分量然后組合成\(f(t)\)

\[ \{1, \cos w_0x, \sin w_0x, \cos 2w_0x, \sin 2w_0x, \cos 3w_0x, \sin 3w_0x, \cos 4w_0x, \sin 4w_0x ...\} \\ \]

由於這組正交函數所對應的定義域\(x \in[-\infty, +\infty]\), 值域\(f(x) \in[-\infty, +\infty]\), 所以可以進行線性組合為\(f(t)\)，同時這組三角函數的角頻率必為\(w_0\)倍數，很好理解，是因為需要同倍數周期的函數進行疊加， 而\(a_n, b_n\)可以理解成這些維度的系數，或者說\(f(t)\)在這些維度上的投影，要想確定這些值實際上是一個投影的過程，將會在下面得到

• 復指數形式的傅里葉級數

為什么要引入這個復指數基，邏輯是這樣子的，對於一個普通周期函數

\[f(x) = k\cos(x + θ) \]

如果單純用余弦/正弦函數去表示的話，θ無法表示出來的, 因為相位θ的存在，正確的構造思路應該是從這個高中公式開始去入手構造，那么就有正余弦了：

\[acosx + bsinx = \sqrt{a^2 +b^2}sin(x + θ)\\ θ=arctan\frac{b}{a} \]

所以需要搞一個sin和cos同時構成的基序列，使得相位θ存在，這是三角基傅里葉級數為什么既有正弦也有余弦的原因(雖然正弦和余弦是可以轉換的)

而復指數傅里葉級數，則是說既然你同時要有\(a\cos{x} + b\sin{x}\)，但是兩個東西我看着礙眼，我可以利用歐拉公式\(e^{ix} = \cos x + j\sin x\)一個去表示你這兩個東西，只要把\(e^{ix}\)系數構造好，那就可以\(jsinx\)轉成\(bsinx\)，這就是它的思想。

所以我們更習慣使用下面這么一組復指數正交基去表示，其中\(j\)是虛數單位也就是我們常見的\(i\)

\[ \{e^{-jnw_0x}, ..., e^{-j3w_0x}, e^{-2jw_0x}, e^{-jw_0x}, e^{j0w_0x}, e^{jw_0x}, e^{j2w_0x}, e^{j3w_0x},...,e^{j4w_0x}\} \]

這組正交基的定義域\(x \in[-\infty, +\infty]\), 值域\(f(x)\) 除了是\([-\infty, +\infty]\), 同時還在一個復數空間上，所以用來表示一個實數空間的東西沒有問題(三維變量表示二維變量，只需要把多出的維度消除掉即可)， 在這組正交基下，\(f(t)\)可以在區間\([-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]\)展開成如下形式:

\[復指數基的傅里葉展開: f(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}c_ke^{jkw_0t} \]

• 投影的計算

我們知道\(c_k\)相當於f(t)在各個分量上的系數，或者說f(t)在\(e^{jnw_0t}\)上的投影，投影的計算方式在二維向量中內積已經做過計算:

\[\vec{x} · \vec{y}= |\vec{x}||\vec{y}|·\cos {\theta} \\ \vec{x} 在 \vec{y}上的投影為:|\vec{x}| cos {\theta} = \frac{\vec{x}·\vec{y} }{ \vec{y}} \]

所以在函數上也是一樣的定義，內積的值/基分量，對於\(C_k\)的值如下:

\[\begin{align*} c_k &= \frac{<f(t), e^{jkw_0t}>}{<e^{jkw_0t}, e^{jkw_0t}>} \\ &= \frac{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jkw_0t}dt}{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{jkw_0t}e^{-jkw_0t}dt}\\ &= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jnw_0t}dt \end{align*} \]

其中有兩個細節，一是復數的乘法是乘以第二個乘數的共軛的，所以看到\(e^{jkw_0t}\)變成了\(e^{-jkw_0t}\), 第二是關於被除數\({<e^{jkw_0t}, e^{jkw_0t}>}\)的理解上，因為我們這里算的是以\(e^{jkw_0t}\)為基的系數，所以除的是\(e^{jkw_0t}\)的內基，而不是一個\(e^{jkw_0t}\)

• 總結

  到這里其實就很明確了，一個周期為T的函數，可以由周期為nT(n= ..., -3, -2, -1, 0 1, 2, 3, ...)的正余弦周期函數組合構成，為了表示方便所以用復指數\(e^{jkw_0t}\)方式去代替這些正余弦，而要求這些分量的系數，實際上就是求f(t)在這些基上投影，計算方式是\(\frac{f(t)與積分量的內積}{基分量與基分量的內積}\)， 所以往往能看到這東西\(f(t)e^{-jnw_0t}\)， 它實際上就是:f(t)與積分量的內積

非周期函數的傅里葉變換

在上一節已經知道了，對於周期函數\(f(t)\)在區間\([-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]\) 做傅里葉展開得

\[\hspace{4cm} f(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}c_ke^{ikw_0t} \hspace{4cm}(2.1)\\ c_n = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jkw_0t}dt \]

對於非周期函數，可以認為\(T→\infty\)，此時\(w_0 = \frac{2\pi}{T} →\) 0, 所以微分化后，可以認為是\(w=kw_0, w_0 = \Delta w\), 此時

\[c_n = \frac{\Delta w}{2\pi} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jwt}dt \]

將\(c_n\)代入2.1得

\[f(t) = \frac{1}{2\pi} \sum_{k = -\infty}^{+\infty} (\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jwt}dt) e^{jkw_0t}\Delta w \]

由於\(\Delta w,T→\infty\)，

\[f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} (\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jwt}dt) e^{jkwt}dw \\ 記： F(w) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jwt}dt \hspace{2cm}(傅里葉變換)\\ 則: f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(w) e^{jwt}dw \hspace{2cm}(傅里葉逆變換) \]

\(F(w)\)描述的就是\(f(t)在e^{-jwt}分量處的系數 · 2\pi(因為2\pi被提出去了)\), 是函數與在該正交分量相關性，通過\(f(t)\)得到F(w)的過程也被稱之為傅里葉變換，\(F(w)\)又被稱之為f(t)的頻譜密度， 而對於原來的周期函數\(C_n\)，因為其分量的頻率不是連續的，所以將\(c_n\)稱為頻譜(與概率分布函數和概率密度函數的概念一致)

離散時間傅里葉變換

對於一個周期函數\(x(n)\)， 我們知道其傅里葉變換，但是如果對其進行采樣后，它的頻率的求解該怎么做呢？

它的公式如下：

\[離散時間傅里葉級數: \tilde{X}(k) = \sum_{n = 0}^{N -1} \tilde{x}(k) e^{-jk\frac{2\pi}{N}n} \\ 離散時間傅里葉級數逆變換: \tilde{x}(k) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \tilde{X}(k) e^{jk\frac{2\pi}{N}n} \]

離散時間傅里葉級數的公式很好理解，和傅里葉級數一樣，就是計算投影的過程，但是現在函數點變成了取樣點了\(\tilde{x}(k)\) 其它點都沒有都是0，所以不用放過來； 然后基分量\(e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}\)和過去的\(e^{-jtw_0n}\) 發生了形式上符號上發生了一點變化，但本質沒有區別，右上角的構成仍然是虛數 · 自變量 · 角頻率· 擴充倍數，唯一有變化的是角頻率這個地方，其它都是一樣的，角頻率在這里被定義成了\(\frac{2\pi}{N}\), 而且N還是一個變量，表示的是取樣點的數量，角頻率\(w_0\)必須要和原函數保持一直，在這里取了\(N\)個點，它們可能如上圖屬於多個周期里面，也可能都在一個周期里面，那么這個時候角頻率的范圍就在\([\frac{2\pi}{N}, 2\pi]\)，所以就將角頻率對在了最小的\(\frac{2\pi}{N}\)