序列的離散傅里葉變換
序列的離散傅里葉變換給出了序列頻譜的概念，可從頻域對離散時間信號和系統進行分析。\(z\)變換是用\(z\)的冪級數\(z^{-n}\)對序列進行展開，而序列的離散傅里葉變換是用\(e^{-j \omega n}\)作為基函數對序列進行正交展開的。
序列的傅里葉變換的定義
-
序列的傅里葉變換定義為：
\[X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{ -j\omega n} \]它是\(\omega\)的連續函數。
-
由於\(e^{-j \omega n} = e^{-j (\omega + 2\pi M)n}\)，其中\(M\)為整數。所以有：
\[X(e^{j \omega })=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{ -j(\omega +2\pi M)n}=X(e^{j(\omega+2\pi M)}) \]序列的傅里葉變換\(X(e^{j\omega})\)是周期為\(2\pi\)的周期函數。
-
序列的傅里葉變換是\(z\)變換在\(z=e^{j\omega}\)時的特殊情況：
\[X(e^{j\omega})=X(z)|_{z=e^{j \omega}} \] -
實部虛部表示：
\[X(e^{j\omega})=X_{R}(e^{j\omega})+jX_{I}(e^{j\omega})=|X(e^{j\omega})|e^{j arg[X(e^{j\omega})]} \]\(|X(e^{j\omega})| \rightarrow\) 幅頻特性或幅度譜
\(arg[X(e^{j\omega})] \rightarrow\) 相位譜
\[\begin{aligned} |X(e^{j\omega})| &= \sqrt{X_{R}^{2}(e^{j\omega})+X_{I}^{2}(e^{j\omega})} \\ \varphi(\omega) &= arg[X(e^{j\omega})]=arctan[\frac{X_{I}(e^{j\omega})}{X_{R}(e^{j\omega})}] \end{aligned}\]它們都是\(\omega\)的連續函數和周期為\(2\pi\)的周期函數。
-
序列的傅里葉反變換：
\[\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega m}&=\int_{-\pi}^{\pi}[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{ -j\omega n}]e^{j\omega m} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)\int_{-\pi}^{\pi}e^{ -j\omega n} \\ &= 2\pi \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)\delta(n-m) = 2\pi x(n) \end{aligned} \]所以有：
\[x(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega \]
序列傅里葉變換的主要性質
-
線性：
\[DTFT[ax_{1}(n)+bx_{2}(n)]=aX_{1}(e^{j\omega})+bX_{2}(e^{j\omega}) \] -
序列時移：
\[DTFT[x(n-n_{0})]=e^{-j\omega n_{0}}X(e^{j\omega}) \]時域移位對應於頻域移相。
-
序列乘指數序列：
\[DTFT[a^{n}x(n)]=X(\frac{e^{j\omega}}{a}) \] -
序列乘復指數序列（調制）
\[DTFT[e^{j\omega_{0}n}x(n)]=X(e^{j(\omega-\omega_{0})}) \]時域調制對應頻域移位。
-
序列線性加權
\[DTFT[nx(n)]=j\frac{d}{d\omega}[X(e^{j\omega})] \]時域線性加權 對應 頻域一階導數乘以j。
-
序列的反轉
\[DTFT[x(-n)]=X(e^{-j\omega}) \]時域反轉 對應 頻域反轉
-
序列共軛
\[DTFT[x^{*}(n)]=X^{*}(e^{-j\omega}) \]時域共軛 對應 頻域共軛且反轉
-
時域卷積定理
\[DTFT[x(n)*h(n)] = X(e^{j\omega})H(e^{j\omega}) \]時域卷積 對應 頻域相乘
-
頻域卷積定理
\[DTFT[x(n)y(n)] = \frac{1}{2\pi}[X(e^{j\omega})*Y(e^{j\omega})] \]時域相乘 對應 頻域卷積並除以\(2\pi\)。
-
帕斯瓦爾定理
\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)|^{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X(e^{j\omega})|^{2}d\omega \]時域總能量等於頻域總能量，即能量守恆。
-
對稱性
若序列\(x_{e}(n)\)滿足：\(x_{e}(n) = x_{e}^{*}(-n)\)， 則稱序列\(x_{e}(n)\)為共軛對稱序列。
若序列\(x_{o}(n)\)滿足：\(x_{o}(n) = -x_{o}^{*}(-n)\)， 則稱序列\(x_{e}(n)\)為共軛反對稱序列。
任何一個序列都可以表示成共軛對稱序列和共軛反對稱序列之和：
\[\begin{aligned} x(n) &= x_{e}(n) + x_{o}(n) \\ x_{e}(n) &= \frac{1}{2}[x(n)+x^{*}(-n)] \\ x_{o}(n) &= \frac{1}{2}[x(n)-x^{*}(-n)] \\ \end{aligned} \]對應的共軛對稱部分和共軛反對稱部分的傅里葉變換分別為：
\[\begin{aligned} DTFT[x_{e}(n)]&=\frac{1}{2}[X(e^{j\omega})+X^{*}(e^{j\omega})]=Re[X(e^{j\omega})] \\ DTFT[x_{o}(n)]&=\frac{1}{2}[X(e^{j\omega})-X^{*}(e^{j\omega})]=jIm[X(e^{j\omega})] \end{aligned} \]序列\(x(n)\)共軛對稱部分的離散時間傅里葉變換對應於\(X(e^{j\omega})\)的實部；而共軛反對稱部分的離散傅里葉變換對應於\(X(e^{j\omega})\)的虛部（包括j）。
若將\(x(n)\)表示成實部和虛部和的形式：
\[x(n)=x_{r}(n)+jx_{i}(n) \]對上式兩邊進行離散時間傅里葉變換可得:
\[X(e^{j\omega})=DTFT[x_{r}(n)+jDTFT[x_{i}(r)] \]若定義：
\[\begin{aligned} X_{e}(e^{j\omega})&=DTFT[x_{r}(n)] \\ X_{o}(e^{j\omega})&=jDTFT[x_{i}(n)] \end{aligned}\]由於\(x_{r}(n),x_{i}(n)\)均為純實數，可以得到：
\[\begin{aligned} DTFT[x_{r}(n)]&=X_{e}(e^{j\omega})=X_{e}(e^{-j\omega})\\ jDTFT[x_{i}(n)]&= X_{o}(e^{j\omega})=- X_{o}(e^{-j\omega}) \end{aligned}\]序列\(x(n)\)的實部的離散時間傅里葉變換具有共軛對稱性，而其虛部的離散時間傅里葉變換具有共軛反對稱性。