拉普拉斯變換、z變換，序列的傅里葉變換之間的關系

拉普拉斯變換與\(z\)變換的關系

• \(z\)變換的復變量\(z\)與拉普拉斯變換的復變量\(s\)之間的對應關系為：

  \[z=e^{sT_s},\quad T_{s}\ \text{is the samping period.} \]

• 將\(s\)平面用直角坐標系表示為

  \[s=\sigma + j\Omega \]

• 將\(z\)平面用極坐標表示為

  \[z=re^{j\omega} \]

  可以得到：

  \[z=re^{j\omega}=e^{sT_s}=e^{(\sigma + j\Omega)T_{s}}=e^{\sigma T_{s}}e^{j\Omega T_{s}} \]

  於是：\(r=e^{\sigma T_{s}},\quad \omega=e^{j\Omega T_{s}}\)，即\(z\)的模僅與\(s\)的實部有關，而\(z\)的相位角僅與\(s\)的虛部有關。

• r與\(\sigma\)的關系，\(r=e^{\sigma T_{s}}\)

  • \(\sigma=0\)（s平面的虛軸）對應於\(r=1\)（z平面的單位圓）
  • \(\sigma<0\)（s平面的左半平面）對應於\(r<1\)（z平面的單位圓內部）
  • \(\sigma>0\)（s平面的右半平面）對應於\(r>1\)（z平面的單位圓外部）

• \(\omega\)與\(\Omega\)的關系，\(\omega=\Omega T_{s}\)

  • \(\Omega=0\)（s平面的實軸）對應於\(\omega=1\)（z平面的正實軸）
  • \(\Omega=\Omega_{0}\)（s平面平行於實軸的直線）對應於\(\omega=\Omega_{0}T_{s}\)（z平面始於原點輻射角為\(\omega=\Omega_{0}T_{s}\)的射線）
  • \(\Omega\)由\(-\pi/T_{s}\)增長到\(\pi/T_{s}\)（s平面寬度為\(2\pi/T_{s}\)的一個水平條帶）對應於\(\omega\)由\(-\pi\)到\(\pi\)（z平面繞原點旋轉一周）。因此，\(\Omega\)每增加一個采樣角頻率\(2\pi/T_{s}\)，\(\omega\)就增加一個\(2\pi\)。

z變換與序列傅里葉變換的關系

• 序列的傅里葉變換與\(z\)變換的關系為：

  \[X(e^{j\omega})=X(z)|_{z=e^{j\omega}} \]

  即序列的傅里葉變換\(X(e^{j\omega})\)是\(z\)變換在\(z=e^{j\omega}\)的特殊情況，而\(z=e^{j\omega}\)的模為1，即單位圓。

• 序列的傅里葉變換是\(z\)變換在單位圓上的特殊情況。

• \(z\)平面的單位圓對應於\(s\)平面的虛軸，即\(s=j\Omega\)。由連續信號的傅里葉變換可知，傅里葉變換是拉普拉斯變換在虛軸上的特里。因此，序列的傅里葉變換與連續信號的傅里葉變換意義相同，即信號的頻譜。

• 連續信號傅里葉變換的變量為\(\Omega\)，而離散時間傅里葉變換的變量為\(\Omega\)，它們之間的關系為：

  \[\omega=\Omega Ts=\frac{\Omega}{f_{s}}=\frac{2\pi f}{f_{s}} \]

  \(\omega\)稱為數字頻率，\(f_{s}\)為采樣頻率。即數字頻率可以看作是模擬角頻率\(\Omega\)對采樣頻率的歸一化。

• 根據奈奎斯特采樣定理，連續信號的頻率最高為\(f_s/2\)，對應的數字頻率為\(\omega=\pi\)，因此數字頻率的最大值也就是\(\pi\)。由於序列的傅里葉變換是以\(2\pi\)為周期的，所以數字頻率的有效取值范圍為\(-\pi\sim\pi,\ 0\sim 2\pi\)。

線性時不變離散時間系統的變換域分析

線性時不變離散系統的變換域描述

• 系統的輸出、輸入與單位脈沖響應的關系為：

  \[y(n)=x(n)*h(n) \]

  對上式兩端取\(z\)變換，根據\(z\)變換的時域卷積定理有：

  \[Y(z)=X(z)H(z)\rightarrow H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)} \]

  \(H(z)\)是系統單位脈沖響應\(h(n)\)的\(z\)變換，稱為系統函數（轉移函數）。對\(h(n)\)進行離散時間傅里葉變換，可得：

  \[H(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}h(n)e^{-j\omega n} \]

  稱\(H(e^{j\omega})\)為系統的頻率響應。顯然，z變換在單位圓上的系統函數就是系統的頻率響應。

• 幾種線性時不變系統描述方法

  • 單位脈沖響應——單位沖激序列的作用下系統的響應；
  • 線性差分方程——任意輸入情況下系統的輸出；
  • 系統函數——從\(z\)變換域角度來描述系統；
  • 系統的頻率響應——從離散時間傅里葉變換，即頻域來描述
    這四種方法的任意一種能夠求出余下的三種。

• 系統因果穩定性的變換域判定

  • 時域判定系統因果穩定性的依據：

    系統的單位脈沖響應必須是因果的：\(h(n)=0(n<0)\)

    系統的單位脈沖響應必須是絕對可和的：\(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}h(n)<+\infty\)

  • \(z\)變換的收斂域是滿足\(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|h(n)z^{-n}|<+\infty\)的那些值確定的；

  • 如果系統函數的收斂域包括單位圓\(|z|=1\)，則肯定滿足\(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|h(n)<+\infty\)的條件，即系統是穩定的，反之也成立，即如果系統是穩定的，則其收斂域一定包括單位圓。

  • 因果系統的單位脈沖響應是因果序列，而因果序列的\(z\)變換的收斂域為\(R_{x-}<|z|\le +\infty\)，即因果序列的收斂域是半徑為\(R_{x-}\)的圓的外部，且包括\(z=+\infty\)。

  綜上：一個因果穩定的離散時間系統的系統函數\(H(z)\)必須從單位圓到\(z=+\infty\)的整個\(z\)平面收斂，也就是說，系統的的全部極點必須在單位圓內部。

系統頻率響應的意義及定性確定方法

為研究“離散時間線性時不變系統”對輸入頻譜的處理作用，有必要研究系統對復指數或正弦序列的響應。

設系統的輸入是頻率為\(\omega\)的復指數序列：\(x(n)=e^{j\omega n},-\infty<n<+\infty\)

系統的輸出為：

\[y(n)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}h(m)e^{j\omega(n-m)}=e^{j\omega n}\sum_{m=-\infty}^{+\infty}h(m)e^{-j\omega m}=e^{j\omega n}H(e^{j\omega}) \]

\(H(e^{j\omega})\)為單位脈沖響應的\(h(n)\)的離散時間傅里葉變換，即系統的頻率響應。穩定狀態下，當系統的輸入為復指數序列\(e^{j\omega n}\)時，系統的輸出也含有\(e^{j\omega n}\)，只是被復函數值\(H(e^{j\omega})\)加權。

系統的差分方程為：

\[y(n)=\sum_{k=0}^{M}b_{k}x(n-k)-\sum_{k=1}^{N}a_{k}y(n-k) \]

兩邊進行傅里葉變換：

\[Y(z)=\sum_{k=0}^{M}b_{k}X(z)z^{-k}-\sum_{k=1}^{N}a_{k}Y(z)z^{-k} \]

系統函數為：

\[H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}}{1-\sum_{k=1}^{N}a_{k}z^{-k}} \]

對上式進行因式分解：

\[H(z)=A\frac{\prod_{k=1}^{M}(1-c_{k}z^{-1})}{\prod_{k=1}^{N}(1-d_{k}z^{-1})}=Az^{(N-M)}\frac{\prod_{k=1}^{M}(z-c_{k})}{\prod_{k=1}^{N}(z-d_{k})} \]

其中，A為實常數，\(c_{k},d_{k}\)分別為\(H(z)\)的零點和極點。對於一個穩定系統，其收斂域包括單位圓，即其傅里葉變換存在。將\(z=e^{j\omega}\)帶入上式，即可得到系統的頻率響應：

\[H(z)=Ae^{j\omega(N-M)}\frac{\prod_{k=1}^{M}(e^{j\omega}-c_{k})}{\prod_{k=1}^{N}(e^{j\omega}-d_{k})}=|H(e^{j\omega})|e^{jarg[H(e^{j\omega})]} \]

則\(H(e^{j\omega})\)的模為：

\[|H(e^{j\omega})|=|A|\frac{\prod_{k=1}^{M}(e^{j\omega}-c_{k})}{\prod_{k=1}^{N}(e^{j\omega}-d_{k})} \]

則\(H(e^{j\omega})\)的相位角為：

\[arg[H(e^{j\omega})]=arg[A]+\sum_{k=1}^{M}arg[e^{j\omega}-c_{k}]-\sum_{k=1}^{N}arg[e^{j\omega}-d_{k}]+(N-M)\omega \]

顯然，無論是\(H(e^{j\omega})\)的模還是相位均受到零點\(c_{k}\)和極點\(d_{k}\)的影響。在單位圓上的零點，將使\(H(e^{j\omega})\)的幅度為零，即傳輸零點，而單位圓附近的零點將使\(|H(e^{j\omega})|\)出現凹谷，在單位圓內靠近單位圓的極點將使\(|H(e^{j\omega})|\)處現凸峰，極點在單位圓外則系統不穩定。因此利用這種幾何直觀的方法，適當地控制零點和極點的個數及位置，就能改變系統的頻率響應特性。

系統的分類

• 無限長單位脈沖響應(IIR)系統

  系統函數的定義為：

  \[H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}}{1-\sum_{k=1}^{N}a_{k}z^{-k}} \]

  其中分母多項式系數\(a_{k}\)只要有一個不為零，則系統在有限\(z\)平面(\(0<|z|<+\infty\))上將會出現極點，若極點不被零點抵消，則系統函數\(H(z)\)的逆變換\(h(n)\)就會有無窮多項，即系統的單位脈沖響應是無限長的，這樣的系統稱為IIR系統。

  對於IIR系統，由於其單位脈沖響應為無限長，故不能采樣卷積計算其響應，只能用差分方程或\(z\)變換的方法來求解，由於至少有一個\(a_{k}\)不為0，即差分方程為

  \[y(n)=\sum_{k=0}^{M}b_{k}x(n-k)-\sum_{k=1}^{N}a_{k}y(n-k) \]

  上式必然至少存在一項\(y(n-k)\)，即當前的輸出\(y(n)\)不僅與輸入有關，而且還與以前的輸出
  \(y(n-k)\)有關，故IIR系統中存在輸出到輸入的反饋，這種結構稱為遞歸結構。

• 有限長單位脈沖響應(FIR)系統
  若系統函數的定義式中的所有\(a_{k}\)均為0，這樣\(H(z)\)在有限平面不存在極點，此時系統函數為：

  \[H(z)=\sum_{k=0}^{M}b_{k}z^{-k} \]

  這時系統的單位脈沖響應為

  \[h(n)=b_{k},k=0,1,\cdots,M \]

  單位脈沖響應的長度為有限長，這樣的系統稱為FIR系統。由於其單位脈沖響應為有限長，可以 采樣卷積計算公式直接計算系統的響應。

  由於所有\(a_{k}\)均為0，其差分方程為：

  \[y(n)=\sum_{k=0}^{M}b_{k}x(n-k) \]

  其輸出僅與輸入有關，不存在反饋，這種結構稱為非遞歸結構。

• 全通系統

  • 系統的幅度特性滿足：
  \[|H(e^{j\omega}|=1,\quad 0\le\omega\le\pi \]
  • 系統函數為：
  \[H(z)=\frac{\sum_{k=0}^{N}a_{k}^{*}z^{-N+k}}{\sum_{k=0}^{N}a_{k}z^{-k}}=z^{-N}\frac{D^{*}(z^{k-1})}{D(z)},\quad a_{0}=1 \]
  • 全通系統的零極點具有如下特點：
    • 若\(p_{k}\)為\(H(z)\)的極點，則\((p_{k}^{-1})^{*}\)一定為零點
    • 全通系統的零點與極點相對單位圓是鏡像共軛成對的。

• 最小相位系統和最大相位系統

  • 最小相位系統和最大相位系統是根據系統的相位特性來進行分類的。穩定的因果系統，要求其所有極點均處於單位圓內部，但對零點沒有限制。
  • 最小相位系統：系統的所有零點均處於單位圓內
  • 最大相位系統：系統的所有零點均處於單位圓外
  • 一個穩定的全通系統所有極點均處於單位圓內部，而其所有零點與極點相對單位圓鏡像共軛成對，因此其所有零點均位於單位圓外部，故全通系統是最大相位系統
  • 最小相位系統的相位滯后總是小於所有其他具有相同幅度特性的系統的相位滯后