（一）拉普拉斯變換

該系列為DR_CAN動態系統的建模與分析系列視頻筆記，詳見https://space.bilibili.com/230105574
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1 定義

拉普拉斯變換（英語：Laplace transform）是應用數學中常用的一種積分變換，又名拉氏轉換，其符號為 \(\mathcal{L}\{f(t)\}\) 。拉氏變換是一個線性變換，可將一個有實數變量 \(t (t>0)\) 的函數轉換為一個變量為復數的 \(s\) 函數：

\[F(s)=\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-s t} \mathrm{d} t\\其中：s=\sigma+i \omega \quad \sigma和 \omega為實數 \]

2 電路的例子

分析這個電路系統的輸入（電壓）與輸出（電流）的關系，實際上就需要我們對這個微分方程進行求解。如果我們用一個系統框圖來表示，這個變化過程 \(g(t)\) 就包含着這個系統的特征，也就是微分方程所包含的內容。通過對 \(e'(t)\) 與 \(g( t )\) 進行卷積運算可以得到 \(i(t)\) 。但這樣分析和計算都相對復雜，這時我們就需要借助拉普拉斯變換，將微分方程轉換成代數方程、卷積運算轉換為乘法運算。

對時域函數 \(f(t)\) 做拉普拉斯變換的公式如下圖中表示，這將二維平面上的曲線變換為了三維復空間中的曲面。當我們沿觀察 \(\sigma\) 軸觀察 \(F(s)Oj\omega\) 平面，即 \(\sigma = 0\) 時，圖像就變成了在虛軸上的一條曲線，而拉普拉斯變換就變成了另一個我們熟悉形式，也就是傅里葉變換。

而當我們沿着 \(F(s)\) 軸觀察 \(\sigma O j\omega\) 平面時，我們往往會關注圖像也就是這個系統的極點與零點，進而對系統進行分析。

3 指數函數的例子

4 性質

• 線性：

• 積分與導數的拉普拉斯變換：

其中，導數的拉普拉斯變換推導如下：

一般情況下我們將系統的初始條件設置為0，因此 \(f(0) = 0\) 即可忽略。

5 回到電路的例子

通過拉普拉斯變換，我們可以對剛剛電路系統的微分方程進行變換：

經過整理可得：

這樣一來，我們就把一個微分方程轉換成了一個僅含有加減乘除的代數方程。

其中：

就是所謂的系統傳遞函數。