拉普拉斯變換

拉普拉斯變換的引入

1. 首先能做的，是對周期函數做傅里葉級數展開，使用復數表達為：

   至於為什么能展開成傅里葉級數，工數（高數）並沒有說清楚，只給出了一個沒有證明的迪利克雷條件，說只要滿足該條件就一定能展開。

   \[f(t) =\sum\limits_{-\infty}^{\infty}c_n e^{jn\omega_0 t}\\ c_n=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)e^{-jn\omega_0 t}{\rm d}t \]

   頻譜圖（\(c_n-n\omega_0\)圖）由一個個沖激構成，間隔為\(\omega_0\)

2. 周期函數的周期增大至無限，則過渡成非周期函數，而\(\omega_0\to0\)​使得原來離散的頻譜圖變成了連續譜：

   \[\left\{ \begin{aligned} \lim\limits_{\omega_0\to0}\sum\limits_{-\infty}^{\infty}g(\omega)\frac{1}{T}&=\lim\limits_{\omega_0\to0}\sum\limits_{-\infty}^{\infty}g(\omega)\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}g(\omega){\rm d}\omega\\ n\omega_0&\to\omega\\ \lim\limits_{\omega_0\to0}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}h(t){\rm d}t&=\int_{-\infty}^{\infty}h(t){\rm d}t \end{aligned} \right.\\ \begin{aligned} \Rightarrow f(t)&=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}[\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x)e^{-jn\omega_0 x}{\rm d}x]e^{jn\omega_0 t}\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{j\omega t}{\rm d}t]e^{j\omega t}{\rm d}\omega\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}{\rm d}\omega \end{aligned} \]

   其中定義了傅里葉變換

   \[F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}{\rm d}t \]

3. 有一部分增長得太快了的函數（比如\(e^{\alpha t}\)），他們的傅里葉變換不收斂。為了繼續研究它們的頻域，想到了先讓它們指數衰減一下，再進行傅里葉變換的方法，於是就得到了拉普拉斯變換

   或者理解為不再像傅里葉變換那樣把它們分解為標准的正弦信號，而是分解成幅度隨時間衰減的正弦信號\(e^{-\sigma t}\sin(\omega t)\)。

   \[\begin{aligned} \mathcal L[f(t)] &= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}{\rm d}t\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}{\rm d}t\\ &=F(s) \end{aligned} \]

   但拉普拉斯變換也不是任何情況下都收斂，能使拉普拉斯變換收斂的s構成了拉普拉斯變換的收斂域。

   工程應用上一般會有時間零點的概念，零點以前的事情是無關緊要的，即\(t<0\)時，可以認為\(x(t)=0\)，繼而有單邊拉氏變換

   \[F(s)=\int^{-\infty}_{0_-}f(t)e^{-st}{\rm d}t \]

   積分下限取\(0_-\)是考慮到\(t=0\)時可能包含沖激信號或其導數。

   拉普拉斯反變換的計算式好像用的不多，就不作討論啦。

性質和常用變換對

從定義出發計算拉氏變換及其逆變換需要進行含有復數的積分，比較復雜，所以更多時候還是從性質出發，用性質和常用變換對導出想要的結果。

單邊拉普拉斯變換的性質

假設有

\[f(t)\leftrightarrow F(s),\ ROC=R_1=\{{\rm Re}(s)>\sigma_1\}\\ g(t)\leftrightarrow G(s),\ ROC=R_2=\{{\rm Re}(s)>\sigma_2\} \]

則

性質名稱	數學表達	收斂域	說明
線性性質	\(af(t)+bg(t)\leftrightarrow aF(s)+bG(s)\)	\(R_1\cup R_2\)或者更大	有可能消去極點
時域平移	\(f(t-t_0)u(t-t_0)\leftrightarrow e^{-st_0}F(s)\)	\(R_1\)	符號相同
時域尺度變換	\(f(at)\leftrightarrow \frac{1}{a}F(\frac{s}{a})\)	\(\{{\rm Re}(s)>a\sigma_1\}\)	無
時域微分	\(f'(t)\leftrightarrow sX(s)-x(0_-)\)	\(R_1\)	注意初態，證明用分部積分
時域高階微分	\(f^{(n)}(t)\leftrightarrow s^nF(s)-\sum\limits_{i=0}^{n-1}s^{n-1-i}x^{(i)}(0_-)\)	\(R_1\)	多次時域微分
時域積分	\(\int_{-\infty}^tf(\tau){\rm d}t\leftrightarrow \frac{1}{s}F(s)+\frac{1}{s}\int_{-\infty}^0f(\tau){\rm d}t\)	\(R_1\cup\{{\rm Re}(s)>0\}\)	注意初態，證明用分部積分
時域卷積	\(f(t)*g(t)\leftrightarrow F(s)G(s)\)	\(R_1\cup R_2\)或者更大	無
復頻域平移	\(f(t)e^{s_0t}\leftrightarrow F(s-\sigma_0)\)	\(\{{\rm Re}(s)>\sigma_1+\sigma_0\}\)	符號相反
復頻域微分	\(-tf(t)\leftrightarrow F'(s)\)	\(R_1\)	多了個負號
初值定理	\(x(0_+)=\lim\limits_{s\to \infty}sX(s)\)	無	書上沒證明
終值定理	\(\lim\limits_{t\to\infty}x(t)=\lim\limits_{s\to 0}sX(s)\)	要求\(\sigma_1<0\)	可以使用時域微分性質證明

常用拉氏變換對

編號	時域信號	復頻域信號	收斂域	可能的推導過程
1	\(\delta(t)\)	1	全平面	從定義出發得到
2	\(\delta(t-t_0)\)	\(e^{-st_0}\)	全平面	由1時域平移得到
3	\(\delta^{(n)}(t)\)	\(s^n\)	全平面	由1時域微分得到
4	\(u(t)\)	\(\frac{1}{s}\)	\(\{{\rm Re}(s)>0\}\)	由1時域積分得到
5	\(u(t-t_0)\)	\(\frac{e^{-st_0}}{s}\)	\(\{{\rm Re}(s)>0\}\)	由4時域平移得到
6	\(\frac{1}{n!}t^nu(t)\)	\(\frac{1}{s^{n+1}}\)	\(\{{\rm Re}(s)>0\}\)	由4時域積分得到
7	\(e^{pt}u(t)\)	\(\frac{1}{s-p}\)	\(\{{\rm Re}(s)>p\}\)	由4復頻域平移得到
8	\(\frac{e^{pt}t^n}{n!}u(t)\)	\(\frac{1}{(s-p)^n}\)	\(\{{\rm Re}(s)>p\}\)	由6復頻域平移得到
9	\(\sin(\omega_0t)u(t)\)	\(\frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}\)	\(\{{\rm Re}(s)>0\}\)	由7和歐拉公式得到
10	\(\cos(\omega_0t)u(t)\)	\(\frac{s}{s^2+\omega_0^2}\)	\(\{{\rm Re}(s)>0\}\)	由7和歐拉公式得到
11	\(e^{-at}\sin(\omega_0t)u(t)\)	\(\frac{\omega_0}{(s+a)^2+\omega_0^2}\)	\(\{{\rm Re}(s)>-a\}\)	由9復頻域平移得到
12	\(e^{-at}\cos(\omega_0t)u(t)\)	\(\frac{s}{(s+a)^2+\omega_0^2}\)	\(\{{\rm Re}(s)>-a\}\)	由10復頻域平移得到