接着前面傅里葉變換繼續往后說（雖然傅里葉變換寫得很亂），討論拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系
已經知道傅氏變換是建立在傅里葉積分的基礎上，一個函數除了要滿足狄氏條件之外，還要在（-∞，+∞）區間上絕對可積，即積分的值不能等於無限大。
而絕對可積是一個相當強的條件，及時一些很簡單的函數（如線性函數，正余弦函數等）都不滿足這個條件，因此傅氏變換存在着以下兩個缺陷
一：在引入δ函數之后，傅氏變換的適用范圍拓寬了許多，使得“緩增”函數也能進行傅氏變換，但是對於指數及增長的函數仍無能為力。
二：傅氏變換必須在整個實軸上有定義，但是在實際工程中，是不存在時間t<0這個概念的，通常都是由t=0開始計時，只需要t>0對應的這部分函數。
假設存在函數f(t),滿足傅氏變換的條件，則有傅氏變換
$$
\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] =\int_{-\infty}^{+\infty}{f\left( t \right) e^{-jwt}dt}\,\, \text{式}1
$$
為了解決上面兩個存在的缺陷，可以分別對傅氏變換做如下兩個處理：
為解決問題一，我們可以再給函數f(t)乘上一個衰減因子（一個很小很小的分數）e-βt, 可得f(t)e-βt。
為解決問題二，我們可以給函數f(t)乘上一個單位階躍函數u(t)，當t<0時，u(t)=0，t>0時，u(t)=1。
綜上所述可以得到f(t)u(t)e-βt,然后對f(t)u(t)e-βt做傅里葉變換可得：
$$
\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] =\int_{-\infty}^{+\infty}{f\left( t \right) u\left( t \right) e^{-\beta t}e^{-jwt}dt}
\\
\text{由於乘入了單位階躍函數}u\left( t \right) \text{，可以將其分}為兩\text{部分計算}
\\
\,\,\int_0^{+\infty}{f\left( t \right) *1*e^{-\beta t}e^{-jwt}dt}=\int_0^{+\infty}{f\left( t \right) e^{-\left( \beta +jw \right) t}dt}
\\
\,\,\int_{-\infty}^0{f\left( t \right) *0*e^{-\beta t}e^{-jwt}dt}=0
\\
\text{由於在（}0\text{，}-\infty \text{）}區\text{間上的積分}=0\text{，因此可以將對}f\left( t \right) \text{的傅氏變換化簡}為\text{如下式子}
\\
\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] =\int_0^{+\infty}{f\left( t \right) e^{-\left( \beta +jw \right) t}dt}
\\
\text{令} -\left( \beta +jw \right) =s\,\,\text{即可得到}f\left( t \right) \text{的拉普拉斯變換公式}
\\
F\left( s \right) =\int_0^{+\infty}{f\left( t \right) e^{-st}dt}
\\
\text{稱}F\left( s \right) 是f\left( t \right) \text{的拉普拉斯變換，記}為F\left( s \right) =\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] \text{。}
$$
以上便是拉普拉斯變換公式和拉普拉斯變換和傅里葉變換之間的關系。