0 一張圖
1 卷積和拉普拉斯變換的關系
頻域上：Y(s)=X(s)H(s)
時域上：對 Y(s)=X(s)H(s) 做拉普拉斯逆變換得 y(t)=x(t)∗h(t)
即拉普拉斯變換與卷積存在如下關系：
對兩個時域函數的卷積做拉普拉斯變換，等於相應頻域函數的乘積。
對兩個頻域函數的乘積做拉普拉斯逆變換，等於對應兩個時域函數的卷積。
2 上述結論的證明
交換積分次序。
怎么想的：
觀察想證出的結果，去貼合它的樣子。待證式子的等號右邊是關於x和g的兩個獨立積分乘積的形式，兩個積分限均為0到∞，但現有的二重積分的兩個積分限不滿足。又想到換元，但判斷在這步直接換元也湊不出∞。畫積分區域，發現限制積分限的是微分的方式，也體現在積分次序上。所以，當交換積分次序，把兩端均受限的橫條微元改為一端開放的豎條微元，就得到“∞”。
換元。
怎么想的：
想把x( )和g( )拆開到兩個積分號里。使( )里的變量無交叉，彼此可視為常數，x( )和g( )就能提到對方的積分號外面。明顯g(t-τ)里有兩個變量，換元令u=t-τ。
或者，看到dt積分的積分限不是0~∞的理想形式，想把下限τ變成0，換元。t∈[τ,∞]→u∈[0,∞]，u=t-τ。
3 線性時不變系統的沖激響應與卷積
線性時不變的含義：
系統的輸入、輸出、傳遞函數：
由上述拉普拉斯逆變換和卷積的關系有：
一個線性的彈簧阻尼系統，當被施加短暫外力時，位移阻尼振盪。
而系統連續的輸入，為了感受，可以近似看作若干個長度為ΔT的短時恆定的輸入。
這個長方塊所謂的短時恆定輸入，是面積不為1的沖激函數。（是“對於一個線性時不變系統，沖激響應h(t)可以完全地定義系統”這件事的過渡理解形式，其實沒必要摘出來看。）由時不變，由線性，系統的輸入和輸出如下對應：
這個A就體現長方形的面積。
ΔTf(iΔT)hΔ(t-iΔT)表示面積為ΔTf(iΔT)的沖擊輸入在延遲了iΔT時間時的響應。
對單獨的一個ΔT長度的沖激函數，系統有一個沖激響應。這是一個線性系統，由疊加原理，任一時刻如圖中黑色豎線處，系統的響應等於這一時刻之前經歷過的所有短時恆定輸入在此時的效果的疊加。
取極限ΔT→0時，加和變成積分
，時刻iΔT記為τ，則ΔT變成時間微元dτ，離散變成連續。
結論：輸出函數等於輸入函數與沖激響應的卷積。
時域和頻域給人的感覺就像微積分里的積分和微分，但頻率並不是時間的微元。關於為什么輸入乘上傳遞函數就等於輸出，讓我舒適的理解方式是借助認識乘積與卷積：沖激是事情發生的驅動力，h(s)是承載輸出的介質，它是傳送帶，f(s)是指導，是工人，二者一起組成輸出信號的流水線。它們直接相乘，說明在頻域上這件事能以幾何的視角理解——在頻域坐標系里，“坐標”隨意一處都有一個沖激函數造成的響應，給這些響應加權，就是輸出，這個加權動作就是典型的幾何乘。這是在頻域的視角，在時域，如果硬要對輸出取dt的微分，它的每一個微元都涵蓋從時間的開始盡頭到現在的一切影響，所以說“拉普拉斯變換積分下限取-∞這件事應該交給哲學家”。