沖激響應與卷積

該系列為DR_CAN工程數學基礎系列視頻筆記，詳見https://space.bilibili.com/230105574
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1 卷積定義

函數 \(f,g\) 是定義在 \(R^{n}\)上的可測函數（measurable function）， \(f,g\) 的卷積記作\(f * g\)，它是其中一個函數翻轉，並平移后，與另一個函數的乘積的積分，是一個對平移量的函數，也就是：

\[(f * g)(t) \stackrel{\text { def }}{=} \int_{\mathbb{R}^{n}} f(\tau) g(t-\tau) d \tau \]

如果函數不是定義在 \(R^{n}\)上，可以把函數定義域以外的值都規定成零，這樣就變成一個定義在 \(R^{n}\)上的函數。

2 沖激響應定義

在信號處理中，沖激響應（英語：Impulse response）一般是指系統在輸入為單位脈沖函數時的輸出（響應），是暫態響應中的一種。對於連續時間系統來說，脈沖響應一般用函數 \(h(t,\tau)\) 來表示，相對應的輸入信號，也就是單位脈沖函數滿足狄拉克δ函數的形式，其函數定義如下：

\[\delta(t)=0, t \neq 0\\\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) d t=1 \]

在輸入為狄拉克δ函數時，系統的脈沖響應 \(h(t)\) 包含了系統的所有信息。所以對於任意輸入信號 \(x(t)\) ，可以用連續域卷積的方法得出所對應的輸出 \(y(t)\) 。也就是：

\[y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d \tau=x(t) * h(t) \]

對於離散時間系統來說，脈沖響應一般用序列 \(h[n]\) 來表示，相對應的離散輸入信號，也就是單位脈沖函數滿足克羅內克δ的形式，在信號與系統科學中可以定義函數如下：

\[\delta[n]=\left\{\begin{array}{ll} 1, & n=0 \\ 0, & n \neq 0 \end{array}\right. \]

同樣道理，在輸入為 \(\delta[n]\) 時，離散系統的脈沖響應 \(h[n]\) 包含了系統的所有信息。所以對於任意輸入信號 \(x[n]\) ，可以用離散域卷積（求和）的方法得出所對應的輸出信號 \(y[n]\) 。也就是：

\[y[n]=\sum_{k=0}^{\infty} x[k] h[n-k] \]

3 線性非時變系統

4 彈簧阻尼系統的例子

對於一個線性系統來說，他的輸出相應 \(x(t)\) 就等於輸入 \(f(t)\) 與其傳遞函數 \(H(s)\) 經過拉普拉斯逆變換后得到的沖激響應 \(h(t)\) 的卷積：

我們將輸入信號的一段離散分成三個 \(\Delta T\) ，這三個部分分別會對系統產生作用，並且作用之間相互獨立，即產生對應的相互獨立的輸入響應，也就是輸出。而某一時刻 \(t\) 系統的輸出，即為 \(t\) 時刻前各輸入響應的加和，當 \(\Delta T \rightarrow 0\) 時，這個加和就變成了積分：

同樣的，當 \(\Delta T \rightarrow 0\) 時， \(t\) 時刻的這一小段輸入就可以近似為沖激函數的 \(f(t)\) 倍。根據線性非時變系統的性質，我們可以得到這個輸入與輸出的表格：

其中第一行即為一個沖擊產生的影響，可以理解為一個基本形式

第二行表示這個沖擊延后 \(i\Delta T\) 時間后，輸入響應也將延后 \(i\Delta T\)

第三行則意味着沖激強度（圖像面積）為 \(A\) 時，並且延后 \(i\Delta T\) 后，系統的輸入響應將為基本形式延后 \(i\Delta T\) 的 \(A\) 倍

第四行即為第三行的推廣，通過把 \(A\) 替換成輸入函數在 \(i\Delta T\) 時刻下， \(\Delta T\) 小段的面積。他表示這個系統對一個面積為 \(\Delta T f(i\Delta T)\) 的沖擊輸入在延遲 \(i\Delta T\) 之后的輸入響應

根據疊加原理，我們可以將這個時刻以前所有的輸入都加在一起，這樣就得到了這一時刻系統的響應。就可以寫成：

\[ x(t)=\sum_{i=0}^{j} \Delta T f\left(i \Delta T\right) h_{0}(t-i \Delta T) \quad t=j \Delta T \]

當 \(\Delta T \rightarrow 0\) 時， \(i\Delta T = \tau\) ，上式就可以寫成卷積的形式：

\[x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) h(t-\tau) d \tau=f(t) * h(t) \]

5 啟發

通過以上分析，我們可以發現，對於線性非時變系統，沖激響應 \(h(t)\) 可以完全定義系統。這也就是我們把傳遞函數表示為 \(H(s)\) 的原因，即沖激響應 \(h(t)\) 經過拉普拉斯變換后得到傳遞函數 \(H(s)\) 。