【信號與線性系統】為什么求解零輸入響應時轉移算子H(p)不能約分，但計算單位沖激響應時卻可以約分？

為什么求零輸入響應r_ZI時轉移算子H(p)不能約分？

.
.
.
我們知道，求零輸入響應r_ZI的實質其實是求解微分方程 D(p)r(t) = N(p)e(t) 的解。由於這里 e(t)=0 ，所以這是一個齊次方程，那么我們求解的實際上是它的通解。我們知道，求通解，就是要完整地表示出它的解空間，如果我們因為某種緣故少求了其中一個基解，那么這個解空間就會丟失一個維度。
.
.
.
為了便於說明，這里設 D(p) = (p-a)(p-b) ， N(p) = (p-a) ， H(p) = N(p) / D(p) 。
.
.
.
則原微分方程變形為 (p-a)(p-b)r_ZI(t) = (p-a)e(t) ， 當然也可以寫成 r_ZI(t) = H(p)·0 。
.
.
.
在不約分的情況下，那么求解 (p-a)(p-b)r_ZI(t) = 0 ，只需求解 (p-a)r_1ZI(t) = 0 和 (p-b)r_2ZI(t) = 0 ，再利用線性性進行疊加求出通解即可。
.
.
.
可以求出通解 r_ZI(t) = c₁e^at + c₂e^bt ，它的解空間是二維的。
.
.
.
如果約分會怎樣？原方程變為 (p-b)r_ZI(t) = e(t) ， 此時，我們只能求解 (p-b)r_2ZI(t) = 0 。而另一個方程 (p-a)r_1ZI(t) = 0 的解消失了！
.
.
.
為什么？因為在我們對原方程進行約分的時候，我們默認 (p-a)r_1ZI(t) ≠ 0 ，否則就不能約分。就是在這里，我們丟失了方程 (p-a)r_1ZI(t) = 0 。
.
.
.
這就是症結所在。假如我們在約分時，記得補充 (p-a)r_1ZI(t) = 0 的情況，那么我們仍然可以得到兩個方程，這個時候仍然能夠求出正確的通解。
.
.
.

為什么求單位沖激響應h(t)時轉移算子H(p)又可以約分呢？

.
.
.
我們還是沿用上面的例子，並對它稍作改動，將會得到一個新的方程 (p-a)(p-b)h(t) = (p-a)δ(t) 。這里，方程右邊 (p-a)δ(t) ≠ 0 ，我們所需要求的是一個非齊次特解，而且這個特解是唯一的。
.
.
.
既然已經排除了 (p-a)δ(t) = 0 的可能，那么我們可以放心地約去 (p-a) 。而且我們求的是特解，所以只需要求出一個正確的解即可，而不必像通解那樣考慮整個解空間，也不用擔心由於少了一個基解，使解空間降維的問題。
.
.
.
事實上，假定我們利用 h'(t) - bh(t) = δ(t) 求出了h(t) ，那么自然有 [h''(t) - bh'(t)] - a[h'(t) - bh(t)] = δ'(t) - aδ(t) ，即已經滿足方程 (p-a)(p-b)h(t) = (p-a)δ(t) ，它就是一個正確的特解。我們只需要求出一個特解，那么這個h(t)正是我們需要的結果。
.
.
.
（完）