拉普拉斯變換

拉普拉斯變換

由於古典意義下的傅里葉變換存在的條件是\(f(t)\)除了滿足狄拉克雷條件以外，還要在\((-\infty,\infty)\)上絕對可積，許多函數都不滿足這個條件。在很多實際問題中，存在許多以時間 \(t\) 為自變量的函數，這些函數根本不需要考慮\(t<0\)的情況。

為了解決這個問題，人們發現可以通過將一些變換使得這些函數變得符合傅里葉變換的條件。

考慮一個函數\(\varphi(t)\), 其在\(t<0\)的區間沒有定義，也不滿足在\([0,\infty)\)絕對可積的限制。我們可以通過這樣的變換使其滿足限制：

1. 乘以單位階躍函數

   \[u(t) = \begin{cases}0,t<0\\1,t>0\end{cases} \]

   這樣在\(t<0\)的情況就完全不用考慮了。

2. 乘以一個衰減函數 \(e^{-\beta t}\)

   很多時候 \(\varphi(t)\) 在\([0,\infty)\) 不可積是因為增長過快，所以我們乘以一個 \(e\) 的負指數函數使其強制衰減。

這樣傅里葉變換就變成了

\[F[\varphi(t)u(t)e^{-\beta t}] = \int_0^{+\infty}f(t)e^{-(\beta+i\omega )t} \]

令\(s = \beta + i\omega\)， 上式可以寫成：

\[F(s) = \int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\mathrm dt \]

我們稱這個函數為 \(f(t)\) 的拉普拉斯變換(Laplace Transform)，記為 \(L[f(t)]\)。

拉氏變換的存在條件

由於拉氏變換是通過負指數函數來使得原函數強制衰減，所以要求原函數在 \(t\rightarrow\infty\) 時增長速度不能超過指數函數。一般也不會有函數的增長速度可以超過指數函數了，所以這個限制其實非常寬泛了。

常見函數的拉普拉斯變換

這里只給結論，不給過程

\[L[\sin\omega t] = \frac{\omega}{s^2+\omega^2}\\ L[\cos\omega t] = \frac{s}{s^2+\omega^2}\\ L[t^m] = \frac{m!}{s^{m+1}}\quad (m\ge0)\\ L[\delta(t-t_0)] = e^{-st_0} \quad \delta(t-t_0)為單位脈沖 \]

當函數 \(f(t)\) 為周期函數時，設周期為 T，則有

\[L[f(t)] = \frac1{1-e^{-sT}}\int_0^Tf(t)e^{-st}\mathrm dt \]

一般可利用這些基本函數的拉氏變換加上下文的拉氏變換的性質來求解復雜函數的拉氏變換。

定理

(1) 如果\(\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt\) 在 \(s_1 = \beta_1 + i\omega_1\)處收斂，則這個積分在\(Res > \beta_1\)上處處收斂（by the way，Res表示留數），且由這個積分確定的函數\(F(s)\)在\(Res > \beta_1\)上解析。

(2) 如果\(\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\) 在 \(s_2 = \beta_2 +i\omega_2\) 處發散，則這個積分在 \(Res < \beta_2\) 上處處發散。

拉普拉斯變換的性質

1. 線性性質

2. 微分性質

   若 \(L[f(t)] = F(s)\)，則有

   \[L[f'(t)] = sF(s) - f(0) \]

3. 微分性質推論

   \[L[{f^{(n)}(t)}] = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) -\cdots-f^{(n-1)}(0) \]

4. 積分性質

   \[L\left[\underbrace{\int_0^t\mathrm d\tau\int_0^t\mathrm d\tau\cdots\int_0^t}_{n次}f(\tau)\mathrm d\tau \right] = \frac1{s^n}F(s) \]

5. 初值定理

   \[\lim_{t\rightarrow 0} f(t) = \lim_{s\rightarrow\infty}sF(s) \]

終值定理

\[\lim_{t\rightarrow\infty}f(t) = \lim_{s\rightarrow0}sF(s) \]

6. 平移性質

   \[L[e^{at}f(t)] = F(s-a) \]

7. 延遲性質

   \[\left.\begin{array} L[f(t-\tau)] = e^{-s\tau}F(s)\\L^{-1}[e^{-s\tau}F(s)] = f(t-\tau) \end{array} \right\} \]

拉普拉斯變換在解方程中的應用

拉氏變換是解常系數線性常微分方程的有力工具，基本思想是對方程兩邊同時做拉氏變換，利用拉氏變換的一些性質求出未知函數的像函數，再利用逆變換得到解。

在這里給出一個例子

示例

求方程 \(y^{''} + y = t\) 滿足初始條件 \(y(0) = 1,y^{'}(0) = -2\) 的解。

解：

方程兩邊同時作拉氏變換得

\[L[y^{''}] + L[y] = L[t]\\ s^2Y(s) - sy(0) - y^{'}(0) + Y(s) = \frac1{s^2} \]

用\(s\) 表示 \(Y(s)\) ：

\[Y(s) = \frac1{s^2(s^2+1)} + \frac{s-2}{s^2+1} \]

作逆變換得

\[y(t) = t + \cos t - 3\sin t \]

拉普拉斯逆變換

拉普拉斯變換常用的一個領域是用來求解線性微分方程，求解的過程常要讓經過了拉普拉斯變換的方程進行逆變換變回去。

因為拉普拉斯逆變換其實就是函數 \(f(t)u(t)e^{-\beta t}\) 的傅里葉變換，所以可以參照傅里葉逆變換

\[\begin{aligned} f(t)u(t)e^{-\beta t} &= \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)u(\tau)e^{-\beta\tau}e^{-\mathrm i\omega\tau}\mathrm d\tau \right]e^{\mathrm i\omega t}\mathrm d\omega\\ &=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\beta+\mathrm i\omega)e^{\mathrm i\omega t}\mathrm d\omega\ (t>0) \end{aligned} \]

等式兩端同乘 \(e^{\beta t}\)得

\[f(t) = \frac1{2\pi\mathrm i}\int_{\beta-\mathrm i\infty}^{\beta+\mathrm i\infty}F(s)e^{st}\mathrm ds\quad (t>0) \]

上面的積分是一個復變函數的積分，計算比較困難。但是當 \(F(s)\) 滿足一定條件時，可以用留數的方法進行計算。

定理：若函數 \(F(s)\) 在\(z-\)復平面內除有限個孤立奇點之外處處解析，適當選取 \(\beta\)，使得這些奇點全在 \(\mathrm{Res} < \beta\) 的范圍內，且當 \(s\rightarrow\infty\)時，\(F(s)\rightarrow 0\)，則有

\[f(t) = \frac1{2\pi\mathrm i}\int_{\beta-\mathrm i\infty}^{\beta+\mathrm i\infty}F(s)e^{st}\mathrm ds = \sum_{k=1}^n\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{s=s_k}[F(s)e^{st}] \]

補充，留數的計算公式為：

\[\mathrm{Res}[f(z),z_0] = \frac1{(m-1)!}\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{\mathrm d^{m-1}}{\mathrm dz^{m-1}}\{(z-z_0)^mf(z)\} \]

補充：存在重根時的求解方法