拉普拉斯變換與Z變換

拉普拉斯變換與Z變換

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從傅里葉變換到拉普拉斯變換

1. Fourier 變換：

\[\begin{align*} x(t)&\stackrel{F}{\longrightarrow}X(j\omega)\\ X(j\omega)&\stackrel{F^{-1}}{\longrightarrow}x(t)\\ X(j\omega)&=\underbrace{|X(j\omega)|}_{幅度譜}e^{j\overbrace{\theta(j\omega)}^{相位譜}} \end{align*} \]

​ F變換把時域分析的卷積運算轉化為頻率域的乘積運算

2. 連續時間Fourier 變換收斂條件：

\[\begin{align*} 狄里赫利條件 \begin{cases} 1. \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t|dt<\infty，x(t)絕對可積\\ 2. 在任何有限區間內，x(t)只有有限個最大值和最小值\\ 3. 在任何有限區間內，x(t)只有有限個不連續點，且不連續點上信號有有限值 \end{cases} \end{align*} \]

​ 一些常見信號如階躍、斜坡、周期都不滿足絕對可積的條件，不能直接求F變換

​ \(eg:\) 周期信號 \(x(t)\stackrel{F}{\longleftrightarrow}2\pi X_1(j\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}2\pi a_k \delta(\omega-k\omega_0)\)，當 \(t\rightarrow \infty\)，\(x(t)\) 不趨於0

3. 解決方法：

   在自然界，指數信號 \(exp(-x)\) 是衰減最快的信號之一，對信號乘上指數信號之后，很容易滿足絕對可積的條件。引入衰減因子 \(e^{-\sigma t}\)，乘以 \(x(t)\)，使 \(t\rightarrow \infty, \ \ x(t)e^{-\sigma t}\rightarrow 0\)。

\[\begin{align*} F\{x(t)e^{-\sigma t}\}&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-t\overbrace{(\sigma+j\omega)}^{S}}dt\\ \Leftrightarrow \quad X(\sigma+j\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-t\overbrace{(\sigma+j\omega)}^{S}}dt\\ \Leftrightarrow \quad L\{x(t)\}&=X(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st}dt \quad 雙邊Laplace變換正變換 \end{align*} \]

​ \(X(s)\) 稱為 \(X(t)\) 的象函數

\[\begin{align*} x(t)e^{-\sigma t}&=F^{-1}\{X(\sigma+j\omega)\}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\sigma+j\omega)e^{j\omega t}d\omega\\ x(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\sigma+j\omega)e^{(\sigma+j\omega) t}d\omega\\ x(t)&=L^{-1}\{X(s)\}=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j \infty}^{\sigma+j \infty}X(s)e^{st}ds \quad Laplace反變換 \end{align*} \]

4. 衰減因子 \(e^{-\sigma t}\)：

   \[e^{st}=e^{(\sigma+j\omega)t }=e^{\sigma t}e^{j\omega t} \]

   數學含義：原函數乘以衰減因子以滿足絕對可積條件

   物理含義：頻率 \(\omega\) 變換為復頻率 \(s\)

   • \(\omega\) 只能描述振盪的重復頻率
   • \(s\) 不僅描述重復頻率，還描述振盪幅度的增長速率或衰減速率

5. 關系：

   傅里葉變換可以看做是拉普拉斯的一種特殊形式，即所乘的指數信號為 \(exp(0)\)，拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣，是一種更普遍的表達形式。

從拉普拉斯變換到Z變換

參考：Z變換

1. 關系：

   拉普拉斯變換針對連續信號，Z變換針對離散信號。

   Z變換可以說是針對離散信號和系統的拉普拉斯變換。

   Z變換中的Z平面與拉普拉斯中的S平面存在映射的關系，\(z=exp(Ts)\)。

   在Z變換中，單位圓上的結果即對應離散時間傅里葉變換的結果。

2. 公式：

   一個離散的時間信號 \(x[n]\) 的Z變換定義為

   \[X(z)\overset{def}{=}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]z^{-n} \]

   若將復變量z寫成極坐標形式

   \[z=\overbrace{r}^{模}e^{j\overbrace{\omega}^{相角}} \]

   轉換成

   \[X(re^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n](re^{j\omega})^{-n}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\{ x[n]r^{-n}\}e^{-j\omega n} \]

   由此可見，\(X(re^{j\omega})\) 就是序列 \(x[n]\) 乘以 \(r^{-n}\) 后的傅里葉變換，即

   \[X(re^{j\omega})=F\{x[n]r^{-n}\} \]

   在Z變換中，當變換變量z的模為1，\(z=e^{j\omega}\)，z變換就演變為傅里葉變換。於是，傅里葉變換就成為在復數z平面中，半徑為1的圓上的z變換。

   在Z平面上，這個圓稱為單位圓。