拉普拉斯矩陣(Combinatorial Laplacian)
拉普拉斯矩陣（Laplacian matrix）也叫做導納矩陣、基爾霍夫矩陣或離散拉普拉斯算子，主要應用在圖論中，作為一個圖的矩陣表示。
給定一個有 $n$ 個頂點的圖 $G$，它的拉普拉斯矩陣：
$L=D-A$
其中 $D$ 為圖的度矩陣，$A$ 為圖的鄰接矩陣。度矩陣在有向圖中，只需要考慮出度或者入度中的一個。
性質
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拉普拉斯矩陣是半正定矩陣；
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特征值中 0 出現的次數就是圖連通區域的個數；
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最小特征值是 0，因為拉普拉斯矩陣每一行的和均為0；
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最小非零特征值是圖的代數連通度。
Symmetric normalized Laplacian
L 左乘 度矩陣 的 $-1/2$ 次，再右乘度矩陣的 $-1/2$ 次，展開得到單位矩陣 $I$ 減去 $A$ 左乘度矩陣的 $-1/2$ 次，再右乘度矩陣的 $-1/2$ 次。
$L^{\text {sym }}:=D^{-1 / 2} L D^{-1 / 2}=I-D^{-1 / 2} A D^{-1 / 2}$
該矩陣中的元素由下面的式子給出：
$L_{i, j}^{s y m}:=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { if } i=j \text { and } \operatorname{deg}\left(v_{i}\right) \neq 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{\operatorname{deg}\left(v_{i}\right) \operatorname{deg}\left(v_{j}\right)}} & \text { if } i \neq j \text { and } v_{i} \text { is adjacent to } v_{j} \\ 0 & \text { otherwise. } \end{array}\right.$
Random walk normalized Laplacian
$L^{r w}=D^{-1} L=I-D^{-1} A$
$L_{i j}^{r w}=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { if } i=j \text { and } D_{i i} \neq 0 \\ -\frac{1}{D_{i i}} & \text { if } i \neq j \text { and } v_{i} \text { is adjacent to } v_{j} \\ 0 & \text { otherwise } \end{array}\right.$