拉普拉斯矩陣(Laplacian Matrix) 及半正定性證明

本文轉載自查看原文 2018-10-14 09:30 7241 算法模型/ 拉普拉斯矩陣/ Graph Deep Learning

摘自 https://blog.csdn.net/beiyangdashu/article/details/49300479

和 https://en.wikipedia.org/wiki/Laplacian_matrix

定義

給定一個由n個頂點的簡單圖G，它的拉普拉斯矩陣 $L_{{n\times n}}$

$L = D - A，$ $其中，D是該圖G度的矩陣，A為圖G的鄰接矩陣。$

$因為G是一個簡單圖，A只包含0,1，並且它的對角元素均為0.$

$L中的元素給定為：$

$L_{{i,j}}:={\begin{cases}\deg(v_{i})&{\mbox{if}}\ i=j\\-1&{\mbox{if}}\ i\neq j\ {\mbox{and}}\ v_{i}{\mbox{ is adjacent to }}v_{j}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

$其中deg(v i) 表示頂點 i 的度。$

$對稱歸一化的拉普拉斯 (Symmetric normalized Laplacian)$

$對稱歸一化的拉普拉斯矩陣定義為：$

L^{{{\text{sym}}}}:=D^{{-1/2}}LD^{{-1/2}}=I-D^{{-1/2}}AD^{{-1/2}}

$L^{{{\text{sym}}}}$

$L_{{i,j}}^{{{\text{sym}}}}:={\begin{cases}1&{\mbox{if}}\ i=j\ {\mbox{and}}\ \deg(v_{i})\neq 0\\-{\frac {1}{{\sqrt {\deg(v_{i})\deg(v_{j})}}}}&{\mbox{if}}\ i\neq j\ {\mbox{and}}\ v_{i}{\mbox{ is adjacent to }}v_{j}\\0&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}$

隨機游走歸一化的拉普拉斯 (Random walk normalized Laplacian)

隨機游走歸一化的拉普拉斯矩陣定義為：

L^{{{\text{rw}}}}:=D^{{-1}}L=I-D^{{-1}}A

$L^{{{\text{rw}}}}$

$L_{{i,j}}^{{{\text{rw}}}}:={\begin{cases}1&{\mbox{if}}\ i=j\ {\mbox{and}}\ \deg(v_{i})\neq 0\\-{\frac {1}{\deg(v_{i})}}&{\mbox{if}}\ i\neq j\ {\mbox{and}}\ v_{i}{\mbox{ is adjacent to }}v_{j}\\0&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}$

泛化的拉普拉斯 (Generalized Laplacian)

泛化的拉普拉斯Q定義為:

${\begin{cases}Q_{i,j}<0&{\mbox{if}}\ i\neq j\ {\mbox{and}}\ v_{i}{\mbox{ is adjacent to }}v_{j}\\Q_{i,j}=0&{\mbox{if}}\ i\neq j\ {\mbox{and}}\ v_{i}{\mbox{ is not adjacent to }}v_{j}\\{\mbox{any number}}&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}$

注意：普通的拉普拉斯矩陣為泛化的拉普拉斯矩陣。

例子

Labeled graph	Degree matrix	Adjacency matrix	Laplacian matrix
	$\left(\begin{array}{rrrrrr} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{rrrrrr} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{rrrrrr} 2 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0\\ -1 & 3 & -1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 3 & -1 & -1\\ -1 & -1 & 0 & -1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\ \end{array}\right)$

拉普拉斯矩陣半正定性證明

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