拉普拉斯矩阵(Laplacian Matrix) 及半正定性证明

本文转载自查看原文 2018-10-14 09:30 7241 算法模型/ 拉普拉斯矩阵/ Graph Deep Learning

摘自 https://blog.csdn.net/beiyangdashu/article/details/49300479

和 https://en.wikipedia.org/wiki/Laplacian_matrix

定义

给定一个由n个顶点的简单图G，它的拉普拉斯矩阵 $L_{{n\times n}}$

$L = D - A，$ $其中，D是该图G度的矩阵，A为图G的邻接矩阵。$

$因为G是一个简单图，A只包含0,1，并且它的对角元素均为0.$

$L中的元素给定为：$

$L_{{i,j}}:={\begin{cases}\deg(v_{i})&{\mbox{if}}\ i=j\\-1&{\mbox{if}}\ i\neq j\ {\mbox{and}}\ v_{i}{\mbox{ is adjacent to }}v_{j}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

$其中deg(v i) 表示顶点 i 的度。$

$对称归一化的拉普拉斯 (Symmetric normalized Laplacian)$

$对称归一化的拉普拉斯矩阵定义为：$

L^{{{\text{sym}}}}:=D^{{-1/2}}LD^{{-1/2}}=I-D^{{-1/2}}AD^{{-1/2}}

$L^{{{\text{sym}}}}$

$L_{{i,j}}^{{{\text{sym}}}}:={\begin{cases}1&{\mbox{if}}\ i=j\ {\mbox{and}}\ \deg(v_{i})\neq 0\\-{\frac {1}{{\sqrt {\deg(v_{i})\deg(v_{j})}}}}&{\mbox{if}}\ i\neq j\ {\mbox{and}}\ v_{i}{\mbox{ is adjacent to }}v_{j}\\0&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}$

随机游走归一化的拉普拉斯 (Random walk normalized Laplacian)

随机游走归一化的拉普拉斯矩阵定义为：

L^{{{\text{rw}}}}:=D^{{-1}}L=I-D^{{-1}}A

$L^{{{\text{rw}}}}$

$L_{{i,j}}^{{{\text{rw}}}}:={\begin{cases}1&{\mbox{if}}\ i=j\ {\mbox{and}}\ \deg(v_{i})\neq 0\\-{\frac {1}{\deg(v_{i})}}&{\mbox{if}}\ i\neq j\ {\mbox{and}}\ v_{i}{\mbox{ is adjacent to }}v_{j}\\0&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}$

泛化的拉普拉斯 (Generalized Laplacian)

泛化的拉普拉斯Q定义为:

${\begin{cases}Q_{i,j}<0&{\mbox{if}}\ i\neq j\ {\mbox{and}}\ v_{i}{\mbox{ is adjacent to }}v_{j}\\Q_{i,j}=0&{\mbox{if}}\ i\neq j\ {\mbox{and}}\ v_{i}{\mbox{ is not adjacent to }}v_{j}\\{\mbox{any number}}&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}$

注意：普通的拉普拉斯矩阵为泛化的拉普拉斯矩阵。

例子

Labeled graph	Degree matrix	Adjacency matrix	Laplacian matrix
	$\left(\begin{array}{rrrrrr} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{rrrrrr} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{rrrrrr} 2 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0\\ -1 & 3 & -1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 3 & -1 & -1\\ -1 & -1 & 0 & -1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\ \end{array}\right)$

拉普拉斯矩阵半正定性证明

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