信號與系統05 拉普拉斯變換

1. 拉普拉斯變換

• 1. 拉普拉斯變換
  • 1.1. 定義
    • 1.1.1. 計算公式
    • 1.1.2. 收斂域的計算
    • 1.1.3. 拉氏變換與傅氏變換的關系
  • 1.2. 性質
    • 1.2.1. 線性
    • 1.2.2. 時移
    • 1.2.3. 復頻移
    • 1.2.4. 尺度變換
    • 1.2.5. 時域微分特性
    • 1.2.6. \(s\) 域微分特性
    • 1.2.7. 時域積分特性
    • 1.2.8. \(s\) 域積分特性
    • 1.2.9. 時域卷積定理
    • 1.2.10. 初值定理
    • 1.2.11. 終值定理
  • 1.3. 常見的拉氏變換對
    • 1.3.1. 直流或正冪項
    • 1.3.2. 單根極點
    • 1.3.3. 共軛復根極點
    • 1.3.4. 重根極點
    • 1.3.5. 周期極點

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1.1. 定義

1.1.1. 計算公式

\[\begin{aligned} F(s) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-st} dt\\ f(t) &= \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} F(s) e^{st} ds \end{aligned} \]

其中，\(s\) 是一個復數，可以寫為 \(s = \sigma + jw\)；
\(f(t)e^{-st} = f(t)e^{-\sigma t} \cdot e^{-jwt}\)，有點類似對 \(f(t)e^{-\sigma t}\) 進行傅氏變換。

1.1.2. 收斂域的計算

因為增加了一個收斂因子 \(e^{-\sigma t}\) ，只要找到合適的 \(\sigma\) 就可以使得 \(f(t)e^{-\sigma t}\) 絕對收斂，即

\[\displaystyle\lim_{t\to \pm \infty} f(t) e^{-\sigma t} = 0 \]

滿足此式的 \(s\) 值的范圍內稱為拉氏變換的收斂域。

主要分為 4 種情況：右邊信號，左邊信號，雙邊信號，時限信號；

• 右邊信號

  右邊信號的收斂域往往包含復平面的右半面，（非嚴謹）證明如下：

  對於右邊信號，當 \(t < t_0\) 有 \(f(t) \equiv 0\)，始終滿足

  \[\forall \sigma \in R, \lim_{t \to -\infty} f(t) e^{-\sigma t} = 0 \]

  因此只需要考慮趨於正無窮的情況；

  當 \(t \ge t_0\) 時，假設 \(\sigma_0\) 使得 \(f(t)e^{-\sigma t}\) 絕對收斂。令 \(\sigma_1 > \sigma_0\)，由於 \(e^{-\sigma_1 t}\) 的收斂速度\((t\to +\infty)\)比 \(e^{-\sigma_0 t}\) 更快，所以 \(\sigma_1 > \sigma_0\) 也能使得 \(f(t)e^{-\sigma t}\) 絕對收斂，即對於右邊信號，如果在一個點上收斂，則這個點的右邊所有點均收斂。

• 左邊信號

  左邊信號的收斂域往往包含復平面的左半邊，證明過程也是類似的。

  當 \(t \le t_0\) 時，假設 \(\sigma_0\) 使得 \(f(t)e^{-\sigma t}\) 絕對收斂。令 \(\sigma_2 < \sigma_0\)，由於 \(e^{-\sigma_2 t}\) 的收斂速度\((t\to -\infty)\)比 \(e^{-\sigma_0 t}\) 更快，所以 \(\sigma_2 < \sigma_0\) 也能使得 \(f(t)e^{-\sigma t}\) 絕對收斂，即對於左邊信號，如果在一個點上收斂，則這個點的左邊所有點均收斂。

• 雙邊信號

  雙邊信號的收斂域為帶狀或不存在。

  雙邊信號可以分解為左邊信號和右邊信號，當且僅當左邊信號和右邊信號的收斂域存在交集時，雙邊信號才存在拉氏變換。

• 時限信號

  實現信號的收斂域為整個復平面。對於時限信號，有

  \[\lim_{t \to \pm \infty} f(t) = 0 \]

  所以有

  \[\forall \sigma \in R, \lim_{t \to \pm \infty} f(t) e^{-\sigma t}= 0 \]

  典型的時限信號有：\(\delta(t)\)，\(G_{\tau}(t)\) 等

1.1.3. 拉氏變換與傅氏變換的關系

根據收斂域分為 3 種情況：

• 收斂域包含虛軸

  拉氏變換與傅氏變換滿足：\(F(jw) = F(s)|_{s=jw}\)

• 收斂域以虛軸為界

  拉氏變換與傅氏變換無明顯關系 \(F(jw) \not = F(s)|_{s=jw}\)，例如 \(u(t)\) 的拉氏變換為 \(\frac{1}{s}\)，其傅氏變換為 \(\frac{1}{jw} + \pi \delta(w)\)。

• 收斂域不包含虛軸

  只存在的拉氏變換，不存在傅氏變換。

1.2. 性質

1.2.1. 線性

\[\mathscr{L}[af_1(t) + bf_2(t)] = aF_1(s) + bF_2(s) \]

1.2.2. 時移

\[\mathscr{L}[f(t)u(t)] = F(s),\\\mathscr{L}[f(t-t_0)u(t-t_0)] = F(s)e^{-st_0} \]

1.2.3. 復頻移

\[\mathscr{L}[f(t)e^{s_0t}] = F(s-s_0) \]

1.2.4. 尺度變換

\[\mathscr{L}[f(at)] = \frac{1}{a}F(\frac{s}{a}),\ a > 0 \]

1.2.5. 時域微分特性

\[\mathscr{L}[\displaystyle\frac{d f(t)}{dt}] = sF(s) - f(0^-),\\ \mathscr{L}[\displaystyle\frac{d^2 f(t)}{dt^2}] = s^2F(s) - sf(0^-) - sf'(0^-)\\ \]

1.2.6. \(s\) 域微分特性

\[\mathscr{L}[(-t)f(t)] = \frac{dF(s)}{ds} \]

1.2.7. 時域積分特性

\[\mathscr{L}\left[\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau \right] = \frac{F(s)}{s} + \frac{f^{-1}(0)}{s} \]

1.2.8. \(s\) 域積分特性

\[\mathscr{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right] = \int_{s}^{+\infty} F(s_1) ds_1 \]

1.2.9. 時域卷積定理

\[\mathscr{L}[f(t)*g(t)] = F(s)G(s) \]

1.2.10. 初值定理

\[\displaystyle\lim_{s \to +\infty}s\cdot F(s) = f(0^+) \]

初值定理要求：

1. \(f(t)\) 連續可導；
2. 不包含任何階次的沖激函數；
3. \(F(s)\) 是真有理分式

1.2.11. 終值定理

\[\displaystyle\lim_{s \to 0} s \cdot F(s) = f(+\infty) \]

終值定理要求： \(x(t)\) 的終值存在，即 \(X(s)\) 的極點在左半 \(s\) 平面

1.3. 常見的拉氏變換對

1.3.1. 直流或正冪項

• 沖激信號

\[\mathscr{L}[\delta(t)] = 1,\ \sigma \in R \]

• 沖激偶信號
  \[\mathscr{L}[\delta'(t)]=s,\ \sigma \in R \]

1.3.2. 單根極點

• 階躍信號

  \[\mathscr{L}[u(t)] = \frac{1}{s},\ \sigma > 0 \]

• 單邊指數信號

  \[\mathscr{L}[e^{at}u(t)] = \frac{1}{s-a},\ \sigma>a,\\\mathscr{L}[e^{at}u(-t)] = -\frac{1}{s-a},\ \sigma<a \]

• 雙邊指數信號

\[\mathscr{L}[e^{-a\|t\|}] = \frac{2a}{a^2-s^2},\ \sigma\in(-a,a) \]

1.3.3. 共軛復根極點

• 正弦信號
  \[\displaystyle\mathscr{L}[\sin(w_0 t)u(t)] = \frac{w_0}{s^2 + w_0^2},\ \sigma > 0 \]

• 余弦信號
  \[\displaystyle\mathscr{L}[\cos(w_0 t)u(t)] = \frac{s}{s^2 + w_0^2},\ \sigma > 0 \]

• 正弦衰減信號
  \[\displaystyle\mathscr{L}[e^{at}\sin(w_0 t)u(t)] = \frac{w_0}{(s-a)^2 + w_0^2},\ \sigma > a \]

• 余弦衰減信號
  \[\displaystyle\mathscr{L}[e^{at}\cos(w_0 t)u(t)] = \frac{s-a}{(s-a)^2 + w_0^2},\ \sigma > a \]

1.3.4. 重根極點

• 斜變信號
  \[\displaystyle\mathscr{L}[tu(t)] = \frac{1}{s^2},\ \sigma > 0 \]

• 高階斜變信號
  \[\displaystyle\mathscr{L}\left[\frac{t^n}{n!} u(t)\right] = \frac{1}{s^{n+1}},\ \sigma > 0 \]

• 斜變衰減信號
  \[\displaystyle\mathscr{L}\left[\frac{t^n}{n!} e^{at} u(t)\right] = \frac{1}{(s-a)^{n+1}},\ \sigma > a \]

1.3.5. 周期極點

• 周期沖激信號
  \[\displaystyle\mathscr{L}\left[\sum_{n=0}^{+\infty}\delta(t - nT)\right] = \frac{1}{1 - e^{-sT}},\ \sigma \not = 0 \]

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對於有理分式，求解拉氏逆變換最常用的方式是部分分式分解法。一個有理分式可以表示為

\[H(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{\displaystyle\sum_{n=0}^{N} b_n s^n}{\displaystyle\sum_{m=0}^{M} a_m s^m}\]

部分分式分解建立在極點分解的基礎。極點即是分母 \(A(s)\) 的根，它有三中類型，即單根極點、共軛復根極點和重根極點，根據三種極點類型，該分式可以分解為

\[H(s) = \sum_{i} \frac{A_i}{s-p_i} + \sum_{j} \frac{B_j s + C_j}{(s+\alpha_j)^2 + \beta_j^2} + \sum_{m} \sum_{r=1}^{k} \frac{D_r}{(s-p_m)^r} \]

其中，

• \(p_i\) 是單根極點，對應的是階躍信號、指數信號的變換式；
• \(\alpha_j \pm j \beta_j\) 是共軛復根極點，對應的是正弦信號和正弦衰減信號的變換式；
• \(p_m\) 是 \(k\) 階重根極點，對應的是斜變信號以及和斜變信號相乘的信號的變換式；
• 若有理分式為假分式，則可能存在直流項或正冪次項，對應的是沖激信號或高階沖激信號。

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