（一）拉普拉斯变换

该系列为DR_CAN动态系统的建模与分析系列视频笔记，详见https://space.bilibili.com/230105574
由于笔者水平有限，文中难免存在一些不足和错误之处，诚请各位批评指正。

1 定义

拉普拉斯变换（英语：Laplace transform）是应用数学中常用的一种积分变换，又名拉氏转换，其符号为 \(\mathcal{L}\{f(t)\}\) 。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有实数变量 \(t (t>0)\) 的函数转换为一个变量为复数的 \(s\) 函数：

\[F(s)=\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-s t} \mathrm{d} t\\其中：s=\sigma+i \omega \quad \sigma和 \omega为实数 \]

2 电路的例子

分析这个电路系统的输入（电压）与输出（电流）的关系，实际上就需要我们对这个微分方程进行求解。如果我们用一个系统框图来表示，这个变化过程 \(g(t)\) 就包含着这个系统的特征，也就是微分方程所包含的内容。通过对 \(e'(t)\) 与 \(g( t )\) 进行卷积运算可以得到 \(i(t)\) 。但这样分析和计算都相对复杂，这时我们就需要借助拉普拉斯变换，将微分方程转换成代数方程、卷积运算转换为乘法运算。

对时域函数 \(f(t)\) 做拉普拉斯变换的公式如下图中表示，这将二维平面上的曲线变换为了三维复空间中的曲面。当我们沿观察 \(\sigma\) 轴观察 \(F(s)Oj\omega\) 平面，即 \(\sigma = 0\) 时，图像就变成了在虚轴上的一条曲线，而拉普拉斯变换就变成了另一个我们熟悉形式，也就是傅里叶变换。

而当我们沿着 \(F(s)\) 轴观察 \(\sigma O j\omega\) 平面时，我们往往会关注图像也就是这个系统的极点与零点，进而对系统进行分析。

3 指数函数的例子

4 性质

• 线性：

• 积分与导数的拉普拉斯变换：

其中，导数的拉普拉斯变换推导如下：

一般情况下我们将系统的初始条件设置为0，因此 \(f(0) = 0\) 即可忽略。

5 回到电路的例子

通过拉普拉斯变换，我们可以对刚刚电路系统的微分方程进行变换：

经过整理可得：

这样一来，我们就把一个微分方程转换成了一个仅含有加减乘除的代数方程。

其中：

就是所谓的系统传递函数。