傅里葉級數

一：指數形式

給定一個周期為T的函數f(t)，那么它可以表示為無窮級數：

f(t)=∑ _k=-∞ ^+∞a _k*e ^ik(2∏/T)t（ i為虛數單位）（1）

ak=(1/∏)∫ ₀ ^2∏f(t)*e ^-ik(2∏/T)td _t

二：正弦形式

1：在物理學中,我們已經知道最簡單的波是諧波(正弦波), 它是形如Asin(ωt+Φ) 的波,其中 A是振幅, ω是角頻率, Φ是初相位.其他的波如矩形波,鋸形波等往往都可以用一 系列諧波的疊加表示出來.這就是說,設 f(t)是一個周期為T 的波,在一定條件下可以把它寫成

f(t)=A₀+∑_n=1^+∞A_nsin(nωt+Φ) =A₀+∑_n=1^+∞a_ncos(nωt)+b_nsin(nωt)

（根據sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ)

其中A_nsin(nωt+Φ)=a_ncos(nωt)+b_nsin(nωt) 是n階諧波,
我們稱上式右端的級數是由f(t) 所確定的傅里葉級數

2：三角函數正交性

設 c是任意實數, 是長度為[c,c+2∏] 的區間,由於三 角函數 是周期為2∏ 的函數,經過簡單計算, 有

利用積化和差的三角公式容易證明

還有

我們考察三角函數系

其中每一個函數在長為 的區間上定義，其中任何 兩個不同的函數乘積沿區間上的積分等零 ， 而每個函數自身平方的積分非零 。我們稱這個 函數系在長為 的區間上具有正交性。

三：傅里葉級數

設函數f(x)已展開為全區間設的一致收斂的三角級數f(x)=(a₀/2)+Σ_k=1^+∞a_kcos(kx)+b_ksin(kx),現在利用三角函數系數的正交性來研究系數a₀,a_k,b_k (k=1,2....n)與f(x) 的關系。將上述展開式沿區間[-Π,+Π]積分，右邊級數可以逐項積分，由(1)得到

又設n是任一正整數，對f(x)的展開式兩邊乘以cos(nx)沿[-Π,+Π]積分，由假定，右邊可以逐項積分，由(1)和(2)(3) ，得到

即：

同樣可得：

因此得到歐拉-傅里葉公式：

自然，這些系數也可以 沿別的長度為 的區間來積 分。

以上是在f(x) 已展開為一致收斂的三角級數的假定下得到系數的表達式的。然而從歐拉-傅里葉公式的形式上看，只要周期為2Π的函數f(x)在區間[-Π,+Π]上可積和絕對可積（如果f(x)是有界函數，則假定它是可積的。這時它一定是絕對可積的；如果f(x)是無界函數，就假定他是絕對可積，因而也是可積的，這樣，不論在哪一種情形，都是可積和絕對可積了），就可以按歐拉-傅里葉公式來確定所有的數 ，從而作出三角級數 

我們稱這級數是f(x)關於三角函數系 的傅里葉級數，而a_k,b_k稱為f(x)的傅里葉系數，記為