目的
構造任意周期函數的通用近似表達式\(f(x)\)
沒有對錯，只有近似
已知
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常函數是周期函數，因此只要\(f(x)\)中包含常數項\(C\)，\(f(x)\)即可包含常函數
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任意函數都可以分解為奇函數與偶函數之和
\[f\left( x\right) =\dfrac{f\left( x\right) +f\left( -x\right) }{2}+\dfrac{f\left( x\right) -f\left( -x\right) }{2}=f_{even}+f_{odd} \] -
假設目標函數周期為\(T\)，那么只要分部都是周期為\(T\)的形式，近似和形式\(f(x)\)的周期必為\(T\)
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猜測了一種近似表達式：
\[f\left( x\right) =C+\sum ^{\infty }_{n=1}\left( a_{n}\cos ( \dfrac{2\pi n}{T}x) +b_{n}\sin ( \dfrac{2\pi n}{T}x)\right) ,C\in R \]近似表達式沒有對錯之分
通用表達式的系數求解
注意：此處項為函數向量
說明：傅里葉級數中任意兩個基互相正交，可用積化和差證明
系數：
\[ a_{n}=\dfrac{2}{T}\int _{x_{0}}^{x_{0}+T}f\left( x\right) \cdot \cos ( \dfrac{2\pi nx}{T})dx,n\in \left\{ 0\right\} \cup N\\ b_{n}=\dfrac{2}{T}\int _{x_{0}}^{x_{0}+T}f\left( x\right) \cdot \sin ( \dfrac{2\pi nx}{T})dx,n\in N\\ \]
表達式中的頻域說明
對於第n項，設其周期為 \(T_n\) :
\[\begin{cases} T_n=\frac{2\pi}{\omega_n}\\ \omega_n=\frac{2\pi n}{T} \end{cases} \Rightarrow T_n=\frac{T}{n} \]
當增加周期 T 時，各子項頻率減小
$$ f=1+\frac{4}{\pi}\sin(\frac{2\pi}{T}x)+\frac{4}{3\pi}\sin(\frac{6\pi}{T}x)+\frac{4}{5\pi}\sin(\frac{10\pi}{T}x)+\frac{4}{7\pi}\sin(\frac{14\pi}{T}x) $$復數形式的傅里葉級數
復變三角函數
\[e^{iwt}=\cos(wt)+i\sin(wt)\\ \Rightarrow \begin{cases} \cos(nwt)=\frac{e^{inwt}+e^{-inwt}}{2}\\ \sin(nwt)=\frac{e^{inwt}-e^{-inwt}}{2i} \end{cases} \]
則傅里葉級數可改寫為：
\[\begin{aligned} f\left( t\right) &=C+\sum ^{\infty }_{n=1}\left[ a_{n}\frac{e^{inwt}+e^{-inwt}}{2} +b_{n}\frac{e^{inwt}-e^{-inwt}}{2i}\right] \\ &=C+\sum ^{\infty }_{n=1}\left[ \frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{inwt} +\frac{a_{n}+ib_{n}}{2}e^{-inwt}\right] \end{aligned}\tag{2} \]
由系數表達式有：
\[\begin{cases} \cos(x)=\cos(-x)\\ \sin(x)=-\sin(-x) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_n=a_{-n}\\ b_n=-b_{-n} \end{cases} \]
將系數等式帶入式 (2)：
\[\begin{aligned} f(t)&=C+\sum ^{\infty }_{n=1}\left[ \frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{inwt}\right] +\sum ^{\infty }_{n=1}\left[\frac{a_{-n}-ib_{-n}}{2}e^{-inwt}\right]\\ &=C+\sum ^{\infty }_{n=1}\left[ \frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{inwt}\right] +\sum ^{-1 }_{n=-\infty}\left[\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{inwt}\right]\\ &=\underbrace{C}_{包含n=0}+\sum ^{\infty }_{n=-\infty}\left[ \frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{inwt}\right]\\ &=\underbrace{C}_{包含n=0}+\sum ^{\infty }_{n=-\infty}A_ne^{inwt} \end{aligned} \]
對等式兩邊同時乘以 \(e^{imwt}\) ，並對它們在一個周期內進行積分
\[\begin{aligned} \int^{T}f(t)e^{-imwt}dt&=\underbrace{\int^{T}Ce^{imwt}dt}_{由(復變)三角函數，當m\neq0時，為0}+\underbrace{\sum ^{\infty }_{n=-\infty}\int^{T}A_ne^{i(n-m)wt}dt}_{保留了n=m的項}\\ &=A_nT=A_mT \end{aligned} \]
即：
\[A_m=\frac{1}{T}\int^{T}f(t)e^{-imwt}dt \]
傅里葉變換
- 所說的從時域到頻域，是指從橫坐標為時間到，橫坐標為頻率，縱坐標依然為幅值