傅里葉（Fourier）級數是三角級數（每項都是三角函數）的一種。因為項數無限，且其中任意兩個不同函數項之積在$[-\pi,\pi]$上的積分為0，所以可以作為希爾伯特空間的一個正交系。傅里葉級數可以擬合很多周期函數。
三角函數系的正交性
三角函數系
$1,\cos x,\sin x,\cos 2x, \sin 2x,...,\cos nx, \sin nx,...$
在區間$[-\pi,\pi]$上正交，即：
$\begin{align*} &\int_{-\pi}^{\pi}\cos nxdx = 0 \;(n=1,2,3,...)\\ &\int_{-\pi}^{\pi}\sin nxdx = 0 \;(n=1,2,3,...)\\&\int_{-\pi}^{\pi}\sin kx\cos nx dx = 0 \; (k,n=1,2,3,...)\\&\int_{-\pi}^{\pi}\cos kx\cos nx dx = 0 \;(k,n=1,2,3,...,k\ne n)\\&\int_{-\pi}^{\pi}\sin kx\sin nx dx = 0 \;(k,n=1,2,3,...,k\ne n) \end{align*}$
證明第3項：
$\displaystyle \int_{\pi}^{\pi}\sin kx \cos nx dx= \int_{\pi}^{\pi}\frac{1}{2}[\sin (k-n)x + sin(k+n)x]dx$
因為
$\displaystyle \int_{\pi}^{\pi}\sin ax dx$
$a=0$時積分為$0$，$a\ne 0$時：
$\displaystyle \int_{\pi}^{\pi}\sin ax dx=\left.-\frac{1}{a}\cos ax\right|_{-\pi}^{\pi}=0$
因此第三項為$0$，得證。
函數展開為傅里葉級數
設$f(x)$是周期為$2\pi$，且可積分的周期函數，函數可展開為：
$\displaystyle f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx dx)$
先求$a_0$，對等式兩邊積分：
$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx dx)dx$
由正交性可得：
$\displaystyle a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$
再求$a_n$，等式兩端乘$\cos nx$，再積分：
$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx = \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos nxdx+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left[a_k\int_{-\pi}^{\pi} \cos kx\cos nxdx+b_k\int_{-\pi}^{\pi} \sin kx\cos nxdx\right]$
由正交性得：
$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx =a_n\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 nxdx=a_n\pi$
於是：
$\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx \;(n=1,2,3,...)$
類似地，兩端乘$\sin nx$，再積分得：
$\displaystyle b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx\;(n=1,2,3,...)$
級數收斂
$a_n,b_n$是通過積分算出來的，當然能滿足添加了積分運算的上述級數的等式。但是如果沒有積分運算，等式一定能成立嗎？或者說級數一定會收斂到原函數嗎？$f(x)$要滿足所謂“收斂定理”，級數才能收斂：
設$f(x)$是周期為$2\pi$的周期的函數，如果它滿足：
(1)在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點。
(2)在一個周期內至多只有有限個極值點。
則$f(x)$的傅立葉級數收斂，並且當$x$是$f(x)$的連續點時，級數收斂於$f(x)$；當x是$f(x)$的間斷點時，級數收斂於$\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]$。