拉格朗日等數學家發現某些周期函數可以由三角函數的和來表示，比如下圖中，黑色的斜線是周期為 $2\pi$ 的函數，而紅色的曲線是三角函數
之和，可以看出兩者確實近似：
另一位數學家傅里葉猜測任意周期函數都可以寫成三角函數之和。
首先先證明一個結論：任意一個函數都可拆分成一個偶函數和一個奇函數的和。
證明
易知
$$f(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} + \frac{f(x) + f(-x)}{2} = g(x) + h(x)$$
因為
$$g(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -g(x) \\
h(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = h(x)$$
所以 $g(x)$ 是奇函數，$h(x)$ 是偶函數，即 $f(x)$ 可以展開為奇函數和偶函數的和。
證畢
傅里葉就試圖將周期為 $T$ 的函數 $f(x)$ 展開為 $\sin x$ 和 $\cos x$ 函數和的形式。
那怎么保證組合出來的函數周期依然為 $T$ 呢？
我們知道函數 $f = \sin \omega t$ 的周期為 $T^{'} = \frac{2\pi}{\omega}$，要使得原函數能夠被三角函數表示，那么三角函數的粒度必然要小於原函數，
即三角函數的最小周期 $T^{'}$ 必須小於原函數 $f(x)$ 的最小周期 $T$，即
$$\frac{2\pi}{\omega} \leq T \\
\Rightarrow \frac{2\pi n}{\omega} = T, \; n > 0$$
這里的 $n$ 必須是一個整數，對於周期函數，它的分量的角頻率也必定是原函數角頻率的整數倍，這一點不做證明。
現在我們有了各種三角函數，如 $\sin x,\sin 2x,\sin 3x,\sin 4x$，對於最初舉的周期為 $2\pi$ 的函數，可以用這些三角函數慢慢逼近。
綜上，構造出來的三角函數展開式形式為
$$f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}\left ( a_{n}\cos \frac{2\pi n}{T}x + b_{n}\sin \frac{2\pi n}{T}x \right ) + C$$
其中 $\frac{2\pi}{T}$ 是原始信號的角頻率，因為 $n > 1$，可見分量的角頻率必然不小於原始信號的頻率，是原始信號頻率的整數倍。所以這里的 $n$
不要認為是索引序號，而是分量的角頻率與原始信號角頻率的倍數關系，如果沒有某個倍數對應的分量，那么這一項就是 $0$。
那怎么確定參數 $C,a_{n},b_{n}$ 呢？先來了解一下三角函數的正交性。
三角函數系列 $1,\cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x,..., \cos nx, \sin nx,...$，在區間 $\left [ -\pi, +\pi \right ]$ 上是正交函數系，即
$$\int_{-\pi}^{\pi}\cos nxdx = 0, (n = 1,2,3,...) \;\;\; \int_{-\pi}^{\pi}\sin nxdx = 0, (n = 1,2,3,...) \\
\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx \sin nx dx = 0, (m,n = 1,2,3,...) \\
\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx \cos nx dx = 0, (m,n = 1,2,3,..., m \neq n) \;\;\; \int_{-\pi}^{\pi}\sin mx \sin nx dx = 0, (m,n = 1,2,3,..., m \neq n) $$
比如，我們要求 $\cos \frac{2\pi n}{T}x$ 這一項的系數，兩邊都乘上它，然后兩邊在 $0-T$ 積分，注意這里的 $T$ 是原始信號的周期，但因為 $n > 1$，所以分解的
分量信號的周期都會比 $T$ 小而且是整數倍，那么依然可以用正交性，就會發現只留下自身那一項，基於此可求得
求 $C$ 的話，兩邊直接在 $0-T$ 上積分即可，可求得
$$C = \frac{a_{0}}{2}$$
在求系數的公式中，$T,f(x)$ 都是已知的，所以只要給定一個周期信號，我們就能通過傅里葉級數分解為一個一個的正弦或余弦分量，求系數很容易，
代公式算即可，難的是為什么一個周期信號一定可以分解為三角函數求和的形式，傅里葉級數展開的形式是怎么來的？這里就不做證明了。
根據歐拉公式，我們來推導一下傅里葉級數的指數形式：
$$f(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}\left ( a_{n}\cos n\omega x + b_{n}\sin n\omega x \right ) \\
= \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}\left [ a_{n}\frac{e^{in\omega x} + e^{-in\omega x}}{2} + b_{n}\frac{e^{in\omega x} - e^{-in\omega x}}{2i} \right ] \\
= \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}\left [ \frac{a_{n} - ib_{n}}{2}e^{in\omega x} + \frac{a_{n} + ib_{n}}{2}e^{-in\omega x} \right ]$$
其中，$\omega$ 是原始信號的角頻率，$n\omega$ 是分量的角頻率，也可寫成 $\omega_{n}$，因為
$$\frac{a_{n} - ib_{n}}{2} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)\cos n\omega xdx - i\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)\sin n\omega xdx \\
= \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)\left (\cos n\omega x - i\sin n\omega x \right )dx \\
= \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)e^{-in\omega x}dx, \; n = 1,2,3,\cdots $$
$$\frac{a_{n} + ib_{n}}{2} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)\cos n\omega xdx + i\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)\sin n\omega xdx \\
= \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)\left (\cos n\omega x + i\sin n\omega x \right )dx \\
= \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)e^{in\omega x}dx, \; n = 1,2,3,\cdots$$
$$\frac{a_{0}}{2} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)dx$$
驚訝得發現
$$\frac{a_{n} - ib_{n}}{2} \; \xrightarrow[]{let \; n = -n} \; \frac{a_{n} + ib_{n}}{2} \\
\frac{a_{n} - ib_{n}}{2} \; \xrightarrow[]{let \; n = 0} \; \frac{a_{0}}{2}$$
若令
$$c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)e^{-in\omega x}dx \\
= \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)e^{-i\omega_{n} x}dx, \; n =0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots$$
其中 $\omega_{n}$ 是分量的角頻率，則傅里葉級數展開可以寫出如下形式：
$$f(x) = \sum_{n = -\infty}^{+ \infty} c_{n}e^{-in\omega x} = \sum_{n = -\infty}^{+ \infty} c_{n}e^{-i\omega_{n} x}, \;\; n \in Z$$
指數形式的傅里葉級數展開比三角形式的簡潔，前者只需要求一個參數 $c_{n}$，而后者需要求三個參數 $a_{n},b_{n},a_{0}$。
由歐拉公式我們知道，$e^{j\theta}$ 表示復平面上的一個旋轉了 $\theta$ 弧度的向量，那么指數形式的傅里葉形式就可以理解為：無數旋轉的疊加。
或者說是：圓周運動的組合。
因為歐拉公式的存在，正弦函數或者余弦函數以及它們的組合就可以看成虛數 $e^{j\theta}$ 的實部或者虛部，也就提供了另一個角度來觀察函數 $f(x)$
的展開分量，原來的級數展開是時域上的各個信號相加，到復平面之后，它的分量就變成了一個個向量 $e^{j\omega t}$，在以各自的角頻率旋轉。比如上面
右圖中所示就是函數 $g(x)$ 分解為兩個正弦分類后在復平面上的情況：
$$g(x) = \sin x + \sin 2x \\
\Rightarrow e^{ix} = \cos x + i \sin x \;\; e^{i2x} = \cos 2x + i \sin 2x \\
\Rightarrow e^{ix} + e^{i2x} = (\cos x + \cos 2x) + i(\sin x + \sin 2x)$$
那么 $g(x)$ 的時域圖像就是向量 $e^{ix}$ 和 $e^{i2x}$ 在復平面上合成后的虛軸變化情況。
頻譜一般分為幅度譜和相位譜兩種，那怎么畫幅度譜呢？幅度譜是哪兩個量之間的關系呢？幅度譜分為兩種
1）單邊幅度譜
只考慮頻率為正數部分得到的頻譜，由三角形式的傅里葉級數得到，根據三角函數的歸一公式是可以只保留正弦函數或余弦函數的，即
$$f(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}\left ( a_{n}\cos n\omega x + b_{n}\sin n\omega x \right ) \\
= c_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty}c_{n}\cos\left ( n\omega x + \varphi_{n} \right)$$
其中
$$\varphi_{n} = -\arctan \frac{b_{n}}{a_{n}} \\
c_{n} = \sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}, n = 1,2,3,\cdots \\
c_{0} = \frac{a_{0}}{2}$$
單邊幅度譜就是 $c_{n},n = 1,2,3,...$ 關於 $n\omega$ 的離散的圖像。
2）雙邊幅度譜
由指數形式的傅里葉級數推導過程可知：
$$c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)e^{-in\omega x}dx, \; n =0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots$$
因為 $c_{n}$ 是一個復數，可以可以寫成模和輻角的形式，即
$$c_{n} = \left | c_{n} \right |e^{i\varphi_{n}}, \; n =0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots$$
又因為
$$c_{n} = \frac{a_{n} - ib_{n}}{2}, \; n =0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots$$
所以
$$\left |c_{n} \right | = \frac{\sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}}{2} \\
\varphi_{n} = -\arctan \frac{b_{n}}{a_{n}}$$
雙邊幅度譜就是 $c_{n},n = 0, \pm1,\pm2,\pm3,...$ 關於 $n\omega$ 的離散的圖像。
可以看出，除了 $n = 0$，雙邊幅度譜的高度是單邊幅度譜的一半，在 $n = 0$ 兩者高度的絕對值相等。