Z变换
Z变换的定义与收敛域
Z变换定义
由DTFT的分析式
将其中的\(e^{-jωn}\)换成\(r^{-n}e^{-jωn}\)，令\(z=re^{jω}\)，即可得到Z变换的定义式
其中\(z=re^{jω}\)，当\(r＝1\)时（即\(z=e^{jω}\)）为DTFT的分析式。
其反变换为（由圆周积分可以得到）
Z变换的收敛域
使级数收敛的所有z值的集合，称为收敛域。
若\(x[n]r^{-n}\)绝对可和，则X(z)收敛，原因如下
由于定义式中n是从负无穷到正无穷，因此n小于等于-1和n大于等于0需要分别考虑。
将上述不等式写成如下式子
-
对于n从0到正无穷的部分，若存在Rx-使之小于无穷，则收敛域为|z| > Rx-，即当r越大，则后面的指数部分越小，则越有可能收敛。即当z只有负幂次项时，ROC是以原点为圆心的圆外。
-
对于n从负无穷到-1的部分，若存在Rx+使之小于无穷，则收敛域为|z| < Rx+，即当r越小，则后面的指数部分越小，则越有可能收敛。即当z只正幂次项时，ROC是以原点为圆心的圆内。
当负幂次项和正幂次项都存在时，考虑两者的交集，无交集ROC不存在；有交集ROC为圆环。
对于有限长序列，只要当\(|x[n]|<∞\)时，有\(|z^{-n}|<∞\)，即可保证每项\(|x[n]z^{-n}|<∞\)，则X(z)收敛。
而整个定义域内当且仅当z=∞或0时，才有可能出现\(|z^{-n}|=∞\)，因此ROC必包括\(0<|z|<∞\)，只需讨论z=0和∞时的情况即可。对于有限长序列，ROC讨论如下
-
当n<0时，Z只有正幂项，所以ROC为\(0≤|z|<∞\)。
-
当n≥0时，Z只有负幂项，所以ROC为\(0<|z|≤∞\)。
-
当n同时有正负时，ROC为\(0<|z|<∞\)。
总结：
对于左边序列（当同时含有小于0至负无穷的部分与有限长的正幂次项时），ROC为\(0<|z|<Rx+\)。
Z变换的性质与定理
线性性质
“包含”，线性性质可能出现零极点相消，导致收敛域扩大。
例如\(x[n]=u[n]-u[n-3]\)，u[n]的z变换为\(\frac{z}{z-1}\)，\(u[-3]\)的z变换为\(\frac{z^{-3}}{1-z^{-1}}\)，化简后得x[n]的z变换为\(z^{-2}+z^{-1}+1\)；发现极点1消失了。
时域移位性质
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当nd＞0时，相当于加上了nd重的z=0的极点，即加上nd重的z=∞的零点，即去除了nd重z=∞的极点。
-
当nd＜0时，相当于加上了nd重的z=∞的极点，即加上nd重的z=0的零点，即去除了nd重z=0的极点。
指数序列相乘性质
例如求\(x[n]=r^ncos(ω_0n)u[n]\)的Z变换
微分性质
可用来求非有理函数的Z反变换，例如
共轭性质
时间倒置共轭性质
卷积性质
可能出现零极点相消扩大收敛域。
初值定理
总结：
Z的反变换
围线积分法（有理无理Z变换皆可）
例题：
观察法（有理Z变换）
记住常用的Z变换，例如
求Z反变换时，注意标出ROC。
部分分式分解法（有理Z变换）
- 对于多重极点，需要求导求出系数。
- 对于假分式，需要用长除法分离出真分式。
- 对于不同的ROC，注意反变换是左边序列还是右边序列。
幂级数展开法（有理Z变换）
将X[z]展开z的各项次幂的和（一般使用长除法：左边序列展开成正幂次项，分母按升幂排列；右边序列，负幂次项，分母按降幂排列），前面的系数为对应的x[n]，例如
ROC为\(0<|z|<∞\)。
此外，幂级数展开法可以用来求超越函数的Z的反变换，用泰勒（或者洛朗）展开，例如
常用函数的taylor展开
实验2 系统函数零极点图
coef_a=[3,-7,5];
coef_b=[1,-2.5,1];
figure(1);
zplane(coef_a,coef_b);
本章习题
- 求以下序列的Z变换及其收敛域
(1)利用定义和等比级数求和公式算，由于是左边序列，收敛域在圆内。
(2)关注一下单位冲激序列的ROC包含0和∞。
(3)关注以下ROC为使公比的绝对值小于1的|z|的范围。
(4)对于用定义展开后，并非指数的形式，可以用求导消除非指数形式的部分，再求积分即可。
(5)注意两序列之间相差一个δ(n-1)。
- 通过求出在对应ROC下的原序列，用定义求其傅里叶变换，（对于无限长序列）若能满足公比的绝对值小于1，即可证明傅里叶变换存在。
- Z变换的初值定理对应的序列必须是因果序列。
- 利用DFS定义式，分别带入N=N和N=3N
\[\tilde{X}[k]=\sum_{n=0}^{N-1}e^{j\frac{-2\pi kn}{N}}\tilde{x}[n] \]\[\tilde{X_3}[k]=\sum_{n=0}^{3N-1}e^{j\frac{-2\pi kn}{3N}}\tilde{x}[n]=\sum_{n=0}^{N-1}e^{j\frac{-2\pi kn}{3N}}\tilde{x}[n]+\sum_{n=N}^{2N-1}e^{j\frac{-2\pi kn}{3N}}\tilde{x}[n]+\sum_{n=2N}^{3N-1}e^{j\frac{-2\pi kn}{3N}}\tilde{x}[n] \]\[\tilde{X}[\frac{k}{3}]=\sum_{n=0}^{N-1}e^{j\frac{-2\pi kn}{3N}}\tilde{x}[n] \]只要能保证幂指数的周期的整数倍为N，即可证明
\[\tilde{X_3}[k]=3\tilde{X}[\frac{k}{3}] \]幂指数的周期为\(\frac{3N}{k}\)，因此当k为3的整数倍时，幂指数周期的3k倍为N，得证。
\[k=3m，m=0，±1，… \]
