頻率響應
從復指數輸入引入頻率響應
對於一個LTI系統，如果輸入為$x[n] = e^{j\omega n},-\infty<n<\infty$，那么輸出為
$\begin{align*}
y[n] &= \sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]x[n-k] \\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]e^{j\omega(n-k)}\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]e^{-j\omega k}e^{j\omega n}
\end{align*}$
式子當中，我們稱$e^{j\omega n}$為該系統的特征函數，相應的特征值為
$H(e^{j\omega}) = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]e^{-j\omega k} }$
可以觀察到特征值$H(e^{j\omega })$是與頻率$\omega$相關的函數，因此特征值$H(e^{j\omega})$也被稱為系統的頻率響應。一般$H(e^{j\omega})$是復數，可以分為實部與虛部表示
$H(e^{j\omega}) = H_R(e^{j\omega}) + jH_I(e^{j\omega})$
也可以用幅度和相位表示
$H(e^{j\omega}) = |H(e^{j\omega})|e^{j\angle H(e^{j\omega)}}$
頻率響應的廣泛應用推論
這里我們可以做一個推論：如果信號能表示成由多個不同頻率（$\omega_k$）的復指數的線性組合的形式
$x[n] = \displaystyle{ \sum_{k}a_k e^{j\omega_k n} }$
那么根據疊加原理，該信號經過線性時不變系統后得到相應的輸出
$y[n] = \displaystyle{ \sum_{k}a_k H(e^{j\omega_k})e^{j\omega_k n} }$
頻率響應的周期性
$\begin{align*}
H(e^{j(\omega+2\pi)})
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}h[n]e^{-j(\omega+2\pi)n} \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}h[n](e^{-j\omega n}e^{-j2\pi n})\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}h[n]e^{-j\omega n}\\
&= H(e^{j\omega})
\end{align*}$
頻率響應$H(e^{j\omega})$作為一個變量為頻率$\omega$的函數來說，它的周期為$2\pi$，只要確定了一個系統在區間$-\pi < \omega \leqslant \pi$上的頻率響應，那么該系統在任意頻率（$\omega$）的頻率響應都能得到。其中靠近$0$處的頻率就是低頻，靠近$\pm \pi$處的頻率就是高頻。
常見系統的頻率響應
理想延遲系統
定義：
$y[n] = x[n-n_d]$
當輸入$x[n] = e^{j\omega n}$時，有
$y[n] = e^{j\omega (n-n_d)} = e^{-j\omega n_d}e^{j\omega n}$
因此這個理想延遲系統的頻率響應為
$H(e^{j\omega}) = e^{-j\omega n_d}$
另外，用頻率響應的定義式子也能求得該系統的頻率響應
$\begin{align*}
H(e^{j\omega}) &=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]e^{-j\omega k} \\
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[k-n_d]e^{-j\omega k}\\
&= e^{-j\omega n_d}
\end{align*}$
根據歐拉公式可以求得頻率響應的實部和虛部分別為
$\left \{ \begin{matrix}
H_R(e^{j\omega}) & = &cos(\omega n_d) \\
H_I(e^{j\omega}) & = &-sin(\omega n_d)
\end{matrix}\right .$
其幅度和相位是
$\left \{ \begin{matrix}
|H(e^{j\omega})| & = &1 \\
\angle H(e^{j\omega}) & = &-\omega n_d
\end{matrix}\right .$
單位脈沖響應為實數的LTI系統
如果$h[n]$為實數，則有
$\begin{align*}
H(e^{-j\omega})
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]e^{j\omega k} \\
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k](cos(\omega k)+jsin(\omega k))\\
&= \underbrace{\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]cos(\omega k)}_{H_R(e^{-j\omega})}+\underbrace{j\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]sin(\omega k)}_{H_I(e^{-j\omega})} \quad h[k]\ is\ real\\
&= \underbrace{\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]cos(-\omega k)}_{H_R(e^{j\omega})}-\underbrace{j\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]sin(-\omega k)}_{H_I(e^{j\omega})} \quad h[k]\ is\ real\\
&=H^{*}(e^{j\omega})
\end{align*}$
LTI系統的正弦響應
如果一個LTI系統的輸入為正弦的
$x[n] = Acos (\omega_0 + \phi) = \frac{A}{2}e^{j\phi}e^{j\omega_0 n} + \frac{A}{2}e^{-j\phi}e^{-j\omega_0 n}$
那么其輸出為
$\begin{align*}
y[n]
&= \frac{A}{2}\{H(e^{j\omega_0})e^{j\phi}e^{j\omega_0 n}+H(e^{-j\omega_0})e^{-j\phi}e^{-j\omega_0 n} \} \\
&= \frac{A}{2}\{[H_R(e^{j \omega_0})+jH_I(e^{j\omega_0})]e^{j\phi}e^{j\omega_0 n}+[H_R(e^{j \omega_0})-jH_I(e^{j\omega_0})]e^{-j\phi}e^{-j\omega_0 n} \} \\ &\qquad h[n]\ is\ real\Rightarrow H(e^{-j\omega_0})=H^{*}(e^{j\omega_0})\\
&= \frac{A}{2}\{ H_R(e^{j\omega_0})(e^{j\phi}e^{j\omega_0 n}+e^{-j\phi}e^{-j\omega_0 n})+jH_I(e^{j\omega_0})(e^{j\phi}e^{j\omega_0 n}-e^{-j\phi}e^{-j\omega_0 n}) \} \\
&= \frac{A}{2} \{ 2H_R(e^{j\omega_0})cos(\omega_0 n + \phi) - 2H_I(e^{j\omega_0})sin(\omega_0 n + \phi) \} \\
&= A \{ H_R(e^{j\omega_0})cos(\omega_0 n + \phi) - H_I(e^{j\omega_0})sin(\omega_0 n + \phi) \} \\
&= A\{ |H(e^{j\omega_0})|cos(\theta)cos(\omega_0 n +\phi)-|H(e^{j\omega_0})|sin(\theta)sin(\omega_0 n +\phi)\} \quad letting\ \theta=\angle H(e^{j\omega_0})\\
&= A |H(e^{j\omega_0})| cos(\omega_0 n +\phi+\theta)
\end{align*}$
如果當前的LTI系統為理想延遲系統，在前面已經得到其幅度與相位$|H(e^{j\omega_0})|=1,\theta = –\omega_0 n_d$，因此
$\begin{align*}
y[n]
&= Acos(\omega_0 n +\phi-\omega_0 n_d)\\
&= Acos[\omega_0(n-n_d)+\phi]
\end{align*}$
這與直接利用理想延遲系統的定義得到的結果是一致的。
滑動平均系統
單位脈沖響應為
$h[n]=\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{M_1+M_2+1} ,& -M\leqslant n\leqslant M_2 \\
0, &else
\end{matrix}\right .$
因此頻率響應為
$H(e^{j\omega}) = \frac{1}{M_1+M_2+1}\displaystyle{\sum_{n=-M_1}^{M_2}e^{-j\omega n}}$
對於因果滑動平滑系統，$M_1 = 0$，即
$H(e^{j\omega}) = \frac{1}{M_2+1}\displaystyle{ \sum_{n=0}^{M_2}e^{-j\omega n} }$
運用幾何級數求和公式可以得到
$\begin{align*}
H(e^{j\omega}) & = \frac{1}{M_2+1}\sum_{n=0}^{M_2}e^{-j\omega n}\\
&= \frac{1}{M_2+1}\left( \frac{1-e^{-j\omega(M_2+1)}}{1-e^{-j\omega}} \right ) \\
&= \frac{1}{M_2+1}\left( \frac{(e^{j\omega(M_2+1)/2}-e^{-j\omega(M_2+1)/2})e^{-j\omega(M_2+1)/2}}{(e^{j\omega/2}-e^{-j\omega/2})e^{-j\omega/2}} \right )\\
&= \frac{1}{M_2+1}\left(\frac{sin[\omega(M_2+1)/2]}{sin\omega/2}e^{-j\omega M_2/2} \right )
\end{align*}$
當$M_2=4$時，頻率響應的模和相位如下
頻率響應的模與相位都會隨着頻率$\omega$的變化而變化，其中從模的圖形中能看出在$\pi$（高頻）附近的值明顯比$0$處（低頻）小，也就是起到了截斷高頻、通過低頻的作用，算是一個較為粗糙的低通濾波器，這一點與滑動平均系統的特性是一致的。
因果LTI系統的頻率響應
前面的文章已經說過，因果LTI系統有一些比較重要的特點：
- 輸出$y[n]$不能使用超前的輸入$x[n+m],m>0$來計算
- 系統的單位脈沖響應$h[n]=0,for \ n<0$
- 在未進行輸入之前不會有輸出（初始松弛條件）
穩態響應與暫態響應的定義
現考慮在$n=0$時刻開始向一個因果LTI系統輸入復指數信號，
$u[x] = e^{j\omega n}u[n]$
那么輸出為
$y[n]=\left \{\begin{matrix}
0, &n<0 \\
\left( \displaystyle{\sum_{k=0}^{n}h[k]e^{-j\omega k}}\right )e^{j\omega n}, &n \geqslant 0
\end{matrix} \right .$
由於在$n<0$時$y[n]$為$0$，因此這里只考慮$n\geqslant 0$時的輸出
$\begin{align*}
y[n]&=\left( \sum_{k=0}^{n}h[k]e^{-j\omega k}\right )e^{j\omega n} \\
&=\left(\sum_{k=0}^{\infty}h[k]e^{-j\omega k} \right )e^{j\omega n}-\left(\sum_{k=n+1}^{\infty}h[k]e^{-j\omega k} \right )e^{j\omega n}\\
&=\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]e^{-j\omega k} \right )e^{j\omega n} - \left(\sum_{k=n+1}^{\infty}h[k]e^{-j\omega k} \right )e^{j\omega n} \quad h[k]=0,k<0\\
&=H(e^{j\omega})e^{j\omega n} - \left(\sum_{k=n+1}^{\infty}h[k]e^{-j\omega k} \right )e^{j\omega n}\\
\end{align*}$
可見輸出由兩部分組成，$y[n] = y_{ss}[n]+y_t[n]$，其中
$y_{ss}[n]=H(e^{j\omega})e^{j\omega n}$
這部分被稱為穩態響應（steady-state response），也就是當系統的輸入為$e^{j\omega n}$時的輸出。而第二部分
$y_t[n] = \displaystyle{ - \left(\sum_{k=n+1}^{\infty}h[k]e^{-j\omega k} \right )e^{j\omega n}}$
就是系統輸出偏離特征函數（即$e^{j\omega n}$）的輸出的量。這一部分被稱為暫態響應（transient response）。
穩態響應與暫態響應在輸出過程中的變化
前面已經說過穩態響應是當系統輸入為$e^{j\omega n}$時的輸出，那么暫態響應是否也有什么含義呢，我們先來對暫態響應做進一步推導
$\begin{align*}
y_t[n] &= \sum_{k=n+1}^{\infty}h[k]e^{-j\omega k}e^{j\omega n} \\
& = \sum_{m=-\infty}^{-n-1}h[-m]e^{j\omega m}e^{j\omega n} \quad letting\ m=-k\\
& = \sum_{p=-\infty}^{-1}h[n-p]e^{j\omega (p-n)}e^{j\omega n}\quad letting\ p=m+n\\
& = \sum_{p=-\infty}^{-1}h[n-p]e^{j\omega p}
\end{align*}$
下圖所示的是頻率為$\omega = 2\pi/10$的復指數信號的實部，圖中實心點的是系統的實際輸入，空心點的是丟失的輸入（這樣的輸入代表了從$n=0$時開始對因果LTI系統進行輸入）。
按照上面式子推導出來的結果，在某個時刻$n$的暫態響應，選取的是開始輸入之前的那部份輸入序列。
當$h[n]$長度有限時，暫態響應會在$h[n-k]$與$x[n]$完全相交后變為0
當$h[n]$長度無限時，如果是穩定的系統，則在$n\to \infty$時有$h[n]\to 0$，暫態響應也會隨着$n$的增大而逐漸變小，在$n\to\infty$時有$y_t[n]\to 0$。
這也說明了隨着$n$的增大，暫態響應的影響會越來越小，穩態響應的影響則越來越大。