目錄
10 有限長脈沖響應濾波器和窗函數
10.1 理想濾波器及其存在的問題
- Q: 對於抽樣間隔\(\Delta\)，理想低通濾波器頻譜范圍為（），但時域出現了（）的問題。
A: \([-1/2\Delta,1/2\Delta]\)，需要無限長的信號
注：這里的頻譜其實都相當於周期函數。 - Q: 既然時域無限長，那我們直接頻域逐點相乘，出現什么問題？
A: 注意上面的“注”。這里實際上是“有無窮多個帶”的帶通濾波了。這些“帶”按周期排列。 - Q: 某某“通”與某某“阻”濾波器的頻譜有何關系？時間函數有何關系？為什么？
A: 相加之后頻譜為常數。相加之后時間函數為常數倍\(\delta\)函數。 - Q: 如何計算理想微分濾波器的時間函數？
A: 回憶頻譜為\(i2\pi f\)，從而容易計算出時域\(h(n) = \int_{-1/2\Delta}^{1/2\Delta}i2\pi fe^{i2\pi n\Delta f}df\) - Q: 吉布斯現象的原因中為什么有一條“頻譜突跳”？
A: 例如：可以從時間處“截斷”，頻域卷積\(sinc\)理解。如果沒有“突跳”，自己拿“很像\(\delta\)函數的”\(sinc\)卷一下就知道沒有Gibbs現象了。
直觀理解：sinc有正有負，中間“主峰”多出的“正”預備着外面“還掉”。但你要是頻譜突變，那就可能導致“不用還”，“耍賴”。總之沒有突跳就沒有此現象。
近似理想濾波器的技術要求
- Q: 解說近似理想濾波器技術指標中的關鍵數值。
A: 過濾帶\([\omega_p,\omega_s]\)：其中“不做要求”
波動\(\delta_p,\delta_s\)：“做要求”的頻段出現波動，不是嚴格直線。 - Q: 分貝和數字“20”有何關系？
A: 2是振幅和能量的關系，10對應“分”
10.2 時窗函數
- Q: “主瓣”和“旁瓣”的特點和截尾時間函數頻譜的畸變形狀有何聯系？
A: 主瓣不尖，躍變就不突然。
旁瓣不可忽略，本來平的地方就出現波動。 - Q: 如何理解“主瓣寬度小”和“旁瓣水平低”矛盾？
A: 實際操作中主瓣高度一定，其寬度小時，旁瓣水平就高。 - Q: 鍾形時窗\(w_3(t) = e^{-\alpha (t/T)^2}\)
的頻譜近似為（），？
A: \(W_3(f)\approx \frac{\sqrt \pi T}\alpha e^{-\frac {\pi^2 T^2 f^2}{\alpha}}\) - Q: 選取濾波器：先根據需要的（）選擇（），再根據過濾帶寬度（和濾波器長度\(N\)有關）選擇（）
A: 阻帶衰減 旁瓣峰值，時窗函數，濾波器長度\(N\) - Q: 解說\(h=\hat h w\)的符號含義
A: 想求實際可用的濾波器時間函數\(h\)，我們需要先求出理想的\(\hat h\)（這里要求考慮過渡帶中心是截頻，以及物理可實現） - Q: 求最大振幅比時窗函數的\(\delta\)參數對求解結果有何影響？
A: 影響\(cos2\pi f\Delta\)取值范圍（\(-1\le x\le a\)），影響優化目標，從而改變切比雪夫多項式的系數。 - Q: 簡述“最大能量比”和“特征根”的聯系
A: 能量本身是二次，求導后是一次。\(U/V\)求導為0得到\(\partial V/\partial h_k = 常數\cdot \partial U/\partial h_k\)，這就有了線性方程。
11 遞歸濾波器的設計
11.1 遞歸濾波及其穩定性
- Q: 如何理解此處“遞歸”一詞？
A: 其實是帶“記憶”的遞歸，“空間換時間”，利用之前計算的結果，減少計算量。和算法設計中的帶記憶的遞歸有類似之處。 - Q: 如何把\(y(t) = b_0x(t)+\cdots + b_n x(t-n) - a_1y(t-1)-\cdots - a_ny(t-n)\)表示成\(Z\)變換的關系？
A: 首先注意\(b_kx(t-k)\)對應\(b_kZ^k X(Z)\)，其次可以形式上記\(A(Z)=\sum_{k=0}^ma_kZ^k,a_0=1\). 這樣容易寫出形如\(H(Z) = Y(Z)/X(Z) = B(Z)/A(Z)\)，\(H\)就是濾波器的\(Z\)變換。 - Q: 誤差，穩定和差分方程有何關系？
A: 可以用差分方程求出誤差的通項公式。如果其中出現了模長大於1的底數，就不穩定。
誤差跟\(x\)那邊沒關系，所以只用考察\(y\)這邊(即\(A(Z)\))
\(A\)根都在單位圓外，倒數都在單位圓內。再回憶差分方程求通項公式時底數是怎么來的，就知道了。 - Q: 反向遞歸濾波中2.對應的結論為什么沒有“相反”成“單位圓內”？
A: 人為定義問題。這里反向濾波時的\(A(Z)\)仍然定義“次數越高，離前線越遠”。這點和正向一致。 - Q: \(1/(1-\alpha Z)\)當\(|\alpha|>1\)時，\(Z\)的根在單位圓內，那怎么找穩定的遞歸濾波器？那如果分母多項式有的根在單位圓外，有的根在單位圓內呢？
A: 看\(1/Z\)
進一步地，如果分母多項式有的根在單位圓外，有的根在單位圓內，則可以串聯（相乘）或並聯（加減），分兩部分處理。一部分正向，一部分反向。
串聯是先算中間信號，再算最終結果。每步都穩定
並聯是分兩部分，每部分都穩定
並聯加法的意義？\(H_1-H_2\)變為\(H_1+H_2\)？
11.2 模擬濾波器的設計
- Q: 為什么不直接設計\(H(\omega)\)，而是通過\(|H(\omega)|^2=\)（）中的多項式（）來設計？
A: \(\frac 1{1+g^2(\omega)}\)，\(g(\omega)\)
\(g(\omega)\)的性質（圓內很小，圓外很大）很容易構造，例如\(\omega^n\)，切比雪夫……等。 - Q: 接上，\(|H(\omega)|^2\)怎么求出\(H\)？
A: 復數域上展開，每個\((\omega-\alpha_i)(\omega-\bar \alpha_i)\)對中取一個。
（注：如果讓下半平面無零點、極點，則具有一些特殊性質）