一、 關於時域采樣和頻域采樣定理
1、A→D
理想時域采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜沿着頻率軸,每間隔采樣頻率Ωs重復出現一次,並疊加形成的周期函數。(周期性延拓)
- (從信號傳輸的角度理解:要求信號最高頻率不超過采樣頻率的1/2,才不會產生頻譜混疊)
- (從信號A/D設計(匹配接收恢復等)的角度理解:(即奈奎斯特采樣定理),要求信號的采樣頻率大於最高信號最高頻率的兩倍,才不會產生頻譜混疊)
2、D→A
由時域離散信號(幅度連續,即采樣信號),恢復時域模擬信號的過程,是時域內插的過程。
- 理想低通濾波器是用g(t) = Sa(Πt/T)=sin(Πt/T) / (Πt/T)函數作為內插函數,T=2Π / Ωs,即:xa(t) = g(t) * x'a(t) 卷積
- 頻域上是將原模擬信號的頻譜的周期延拓頻譜經過理想低通(fh=Π/T)濾波;
3、DTFT→DFT
離散序列信號的DFT(離散傅里葉變換)的兩個物理意義:
- 首先是兩個從采樣角度出發,其一就是:
- N點DFT的幅度特性是由DTFT譜(連續譜)等間隔 N 點采樣而來;
- 其二是離散時域序列的Z變換在單位圓上的N點等間隔采樣;
- 其次是,實質上是離散時域序列的周期性延拓序列的頻譜特性(是其周期序列的離散傅里葉級數系數的主值序列)
4、頻域采樣定理:
由X(k)得到 X(z)或者X(ejw)的過程,是頻域內插的過程。
- 描述:由頻域離散采樣,可以恢復原來的信號(或者原連續頻譜函數: 能恢復得到x(n)后,經過Z逆變換/IDTFT)。
- 條件:頻域采樣點要滿足:N ≥ M,N是等間隔采樣點數,M是時域信號序列x(n)的總長度;
- 原因:X(k)的IDFT是原時間序列以N為周期的周期延拓序列的主值序列;
- 頻域內插公式:(略)
二、 DFT的應用:(學習那么多變換,當然要學習計算機能處理的離散應用了~)
1、計算線性卷積
簡述:分析離散線性時不變系統時,對序列進行濾波處理,需要計算兩個序列(長度分別為M、N)的線性卷積,為了提高運算速度,可以用DFT(FFT)計算;
- 先對兩個序列補零,序列長度都為L(取 L ≥ N+M-1,滿足線性卷積=循環卷積)
- 計算L點的DFT
- 兩個DFT序列相乘(得到是兩個時域序列的L點的循環卷積的L點DFT )
- 計算L點的IDFT(得到結果,頻域相乘,時域卷積,即為所求線性卷積)
2、DFT對信號進行譜分析
簡述:譜分析,就是計算信號的傅里葉變換!
注明:理論上,時間有限的帶限信號是不存在的,但是,通過預濾波濾除小幅度的高頻部分,通過時域截取有限點,進行DFT,是可以合理近似分析的!
設 : x(n)和x(k)均為有限長序列;並且是帶限的;
-
1、對連續信號系統,基本操作:通過時域采樣,DFT進行近似譜分析對離散信號(序列)
- 連續信號時域采樣得到x(n),再對序列進行N點DFT,得到的X(K)是,x(n)的傅里葉變換在頻率區間[0 , 2Π]的N點等間隔采樣;
- 換言之,通過對連續信號采樣,並進行DFT再乘以T,得到的是,模擬信號頻譜的周期性延拓函數在第一個周期內【0,Fs】上的N點等間隔采樣X(k);
- 總結:只要,該頻域信號X(k)滿足時域采樣定理,則包含了模擬信號頻譜的全部信息,即可由X(k)恢復Xa(jΩ)!
- 缺點1:如果直接通過X(K)分析模擬信號頻譜,是看不到全部的頻譜特性,只能看到N個離散采樣點的譜線,這就是“柵欄效應”!
- 缺點2:而且,由於信號截斷,導致eg:理想低通濾波器,通過DFT分析,發現低頻部分近似理想頻響特性,而高頻部分誤差較大,且整個頻響都有波動,這是截斷帶來的誤差,“截斷效應”。
- 柵欄效應:N點DFT是在頻率區間[0,2Π]上,對時域離散信號的頻譜,進行N點等間隔采樣!此采樣點之間的頻譜是看不到的,此為柵欄效應。此采樣點之間的距離,稱為頻率分辨率!
- 對抗方法:有限長序列,在原序列尾部補零;無限長序列,增大截取長度及DFT變換區間的長度N(這里還不是很理解,有限長和無限長的處理方式)
- 作用:從而,頻域采樣間隔變小。這樣,被柵欄擋住的頻譜分量就可以被檢測到。
- 截斷效應:頻譜泄露(展寬)+譜間干擾(旁瓣)
- 混疊現象:對連續信號采樣,需要滿足采樣定理,否則,DFT分析會有w=Π附近的地方較大誤差;一般采樣前,進行預濾波濾除高於折疊頻率的高頻部分,防止頻譜混疊;
- 柵欄效應:N點DFT是在頻率區間[0,2Π]上,對時域離散信號的頻譜,進行N點等間隔采樣!此采樣點之間的頻譜是看不到的,此為柵欄效應。此采樣點之間的距離,稱為頻率分辨率!
- 總結:對於連續信號的譜分析,只需要:采樣頻率足夠高(頻譜不混疊)+采樣點數滿足頻率分辨率的要求(N>2fc/F ,Tp≥1/F),就認為DFT后的離散譜近似表示原信號的頻譜!
-
2、對離散信號系統進行譜分析
三、信號的整數倍時域抽取和時域內插
1、時域下采樣
(即,時域抽取,注意和補零、內插0、替換0等區分),頻域是原信號的頻譜的D個平移樣本之和,相鄰的平移樣本在w軸上相差2Π/D,在模擬頻率軸上相差Ωs1/D = Ωs2;
- 如果抽取后依然滿足奈奎斯特采樣定理,就可以恢復原信號
- 否則,就要采用抗混疊濾波器!將信號的頻帶限制在 Ωs2以下!(損失一些高頻部分,保留低頻部分)
- 記住:時域抽取(離散化),頻域緊密復制(平移求和)
2、時域上采樣
(即,時域內插,含義是:在已知的兩個采樣點之間等間隔地插入I-1個新的采樣值)
- 理論實現(概念理解):將已知的采樣序列,進行D/A變換得到模擬信號后,進行更高速率的采樣,即可實現時域內插!(缺點:不夠經濟,且AD變換對信號損害較大)
- 實際實現:在已知的采樣序列x(nT1)的相鄰的兩個樣點之間,等間隔插入I-1個零,然后進行低通濾波(也稱為,鏡像濾波器),即可求得I倍內插的結果。記住1:時域內插0,頻域不變!(和時域初步離散采樣的頻譜一致,原連續i信號的頻譜周期性延拓)
- 上采樣,即時域零值內插,頻域是和原信號的頻域形狀一致(幅度和不一致),對比更高速率的采樣信號的頻譜,多出鏡像頻譜;
- 為什么不直接進行鏡像濾波,感覺也可以呀,,,(這里還沒弄明白)
- 記住2:時域內插原信號值(也就是信號采樣率增加),頻域分離復制;
- 反之也行!也就是說,頻域是分離復制的(換言之,頻域周期性延拓的周期變大了),其傅里葉反變換得到的時域信號是更加完整的!(相當於以更高的采樣速率,進行了采樣!)
四、信號的整數倍頻域補零(這個,其實是逆過程了~)
1、頻域如果補0,相當於說,將頻域的周期性延拓的周期變大了,同上所述,時域相當於更高采樣率采樣,稱之為時域上的 “ 過采樣 ”!
2、時域補0,往上翻翻翻(對抗柵欄效應那里,這里有關於頻率分辨率,下面做一下理解)
-
設信號長度為
,時域采樣間隔為
,信號共有 N=T0/Ts 個采樣點。
1、對它直接做FFT,可以得到一個由N個點組成、頻率上限為
(即采樣頻率,DFT就是原信號頻譜周期性延拓頻譜的[0,fs]的N點采樣。)的頻譜,相鄰兩個點的頻率間隔為
。
越小,代表頻率分辨率越高,於是可以稱
即
為頻率分辨率。
2、我們覺得頻率分辨率(這里的分辨率僅僅是視覺上的理解噢,注意區分!!)不夠。在無法延長原信號的長度或者提高原信號的時域采樣率的前提下,一種補救方法是在原信號后補零[時域補零!!!],得到一段長度為
的信號,它含有 kN 個采樣點。
對此信號作FFT,可以得到一個由 kN 個點組成,頻率上限為
的頻譜。這個頻譜相鄰兩點的頻率間隔為
。這時候得到的,是視覺上看起來,頻譜外殼更加光滑、各譜線之間更加緊密。看起來就像是“頻率分辨率提高了”,實則不然,柵欄效應只是擋住了部分譜線,實際上,該信號的譜線可以通過內插的方式恢復出信號的“連續譜”,也就是說,更加“密譜線本來就存在的,只是因為柵欄效應,看不到,而通過時域補零,增加了可見范圍,貌似頻率分辨率提高。
3、也可以這樣說,時域序列補零后得到的頻譜的頻率分辨率大小:雖然頻譜上的點變密了,但新產生的這些點的值,完全可以由原頻譜經插值得到,這些點的取值並不是完全獨立的,實際上並沒有比原頻譜包含更多的信息,因此頻率分辨率不變,仍為
即
。(要想增大分辨率F,要增加DFT的有效點數N,或者說增加信號的有效采樣信息數!)
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記住:時域補零抗柵欄,其頻譜顯示出來的更多!和頻率分辨率無關~~
附錄:小白還有兩處不明白的地方,日后補更!