本文給出了離散時間信號與離散時間系統的基本定義，建立符號注釋。
離散時間信號
離散時間信號的定義
離散時間信號在數學上表示成數的序列。如果以連續時間信號（函數）來進行對比，有：
- 一個函數$f$，該函數中的某一點$k$上的值記作$f(k)$。
- 一個數的序列$x$，該序列中的第$n$個數記作$x[n]$。正規地可寫作
$x = \{x[n]\}, n \in Z$
不過實際上，序列往往可以通過周期采樣一個模擬（連續時間）信號$x_{a}(t)$來得到
$x[n] = x_{a}(nT), n\in Z$
其中$T$為采樣周期，其倒數$\frac{1}{T}$為采樣頻率。
離散時間信號的表示
$x[n]$指的序列中的第$n$個數，即序列的第$n$個樣本。在表示整個序列時，如果用$x = \{x[n]\}, n\in Z$則會過於繁瑣，因此我們通常用“序列$x[n]$”來進行稱呼。
基本序列
在討論離散時間信號與系統理論時，有幾個基本序列是特別重要的。
單位樣本序列Unit sample
定義為
$\delta[n]=\left\{\begin{matrix}
1, & n=0\\
0, & n\neq 0
\end{matrix}\right.$
單位樣本序列在離散時間信號與系統中的作用就如同單位脈沖函數$\delta(t)$在連續時間信號與系統中所起的作用，目的是用於采樣。為了方便起見，我們通常稱之為離散時間脈沖，或者簡單稱為脈沖。
我們注意到只要中括號內的值為0，則該點的值為1。因此如果有一延遲的單位樣本序列$\delta[n-2]$，則表明在$n=2$處的值為1，表現為單位樣本信號$\delta[n]$向右移動了兩個單位。如此一來，我們可以發現任何序列都可以用一組幅度加權的延遲單位樣本序列的和來表示
$x[n] = \cdot\cdot\cdot + a_{-2}\delta[n+2]+a_{-1}\delta[n+1]+a_{0}\delta[0]+a_{1}\delta[n-1]+\cdot\cdot\cdot$
即任何序列均可表示為
$x[n] = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k] }$
單位躍階序列Unit step
定義為
$u[n]=\left\{\begin{matrix}
1, & n\geqslant 0\\
0, & n < 0
\end{matrix}\right.$
觀察前面的圖UnitStep與Delta，可以發現單位躍階序列在$n$時刻點的值就等於單位樣本序列在$n$點以及該點以前的全部值的累加和，即（此處$u[n]$為單位躍階序列上的第$n$點）
$u[n] = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{n}\delta[k] }$
此外，序列$u[n]$也可表示成一組延遲的單位樣本序列之和
$u[n] = \delta[n]+\delta[n-1]+\delta[n-2]+\cdot\cdot\cdot=\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\delta[n-k]}$
指數序列 Exponential
指數序列的一般形式為
$x[n] = A\alpha ^n$
如果$A,\alpha$都為實數的話，則$x[n]$為實指數序列。我們主要討論本門課程會重點討論范圍更廣泛的復指數序列，即$A,\alpha$都為復數。復數$A,\alpha$可以分別寫成
$\left\{\begin{matrix}
A& = & |A|(cos\phi+jsin\phi)&=&|A|e^{j\phi} \\
\alpha & = & |\alpha|(cos\omega_0+jsin\omega_0) &=&|\alpha|e^{j\omega_0}
\end{matrix}\right.$
則復指數序列就可以表示為
$\begin{align*}
x[n] &= A\alpha^n\\
&= |A|e^{j\phi}|\alpha|^ne^{j\omega_0n}\\
&= |A||\alpha|^ne^{j(\omega_0n+\phi)}\\
&= |A||\alpha|^ncos(\omega_0n+\phi)+j|A||\alpha|^nsin(\omega_0n+\phi)
\end{align*}$
當$\alpha=1$時，該序列有如下形式：
$x[n] = |A|e^{j(\omega_0n+\phi)} = |A|cos(\omega_0n+\phi)+j|A|sin(\omega_0n+\phi)$
也就是說，$e^{j\omega_0n}$的實部與虛部都隨$n$做正弦變化。按照與連續時間情況相類比的方式，量$\omega_0$也稱作復正弦或者復指數的頻率，$\phi$稱作相位。
離散時間正弦序列與連續時間正弦信號的區別
頻率
由於離散時間正弦序列的$n$必為整數，這使得其與連續時間正弦信號有重大的區別。例如，假設有頻率$(\omega_0+2\pi)$。
如果是連續時間正弦信號，這時有
$f(t) = Acos((\omega_0+2\pi)t + \phi)$
如果是離散時間正弦序列，這時有
$x[n] = Acos[\omega_0n+2\pi n + \phi] = Acos[\omega_0 n + \phi]$
從該例子中看出頻率為$(\omega_0+2\pi r)$的離散時間正弦序列（其中$r$為任意整數）相互間是無法區分的，即頻率仍然為$\omega_0$。
周期
對於連續時間正弦信號
$f(t) = Acos(\omega_0t+\phi)$
該信號的周期$T = \frac{2\pi}{\omega_0}$。
對於離散時間正弦序列
$x[n] = Acos[\omega_0n+\phi]$
在離散時間的情況下，一個周期序列應滿足
$x[n] = x[n+N]$
式中的周期$N$必須是整數。如果用這個條件來檢驗離散時間正弦序列的周期性，則有
$Acos(\omega_0n+\phi) = Acos(\omega_0n+\omega_0N+\phi)$
這要求
$\omega_0N = 2\pi k$
式中$k$為整數。可見周期$N$的值不一定等於$\frac{2\pi}{\omega_0}$，這是因為$N$必須是整數。
這兩個區別對復指數序列$Ce^{j\omega_0n}$同樣適用。
離散時間系統
在數學上，一個離散時間系統可以定義為一種變換或者算子，它把值為$x[n]$的輸入序列映射成值為$y[n]$的輸出序列，可以記作
$y[n] = T\{x[n]\}$
用圖表示為
應該強調的是，輸出序列中的第$n$點的值$y[n]$可以是序列$x[n]$的全部點的值的函數，即$n$時刻$y$點的值可能與整個序列$x$的全部或者部分內容有關。
無記憶系統
如果在每一個$n$值上的輸出$y[n]$只決定於同一個$n$值的輸入$x[n]$，那么就說該系統是無記憶的。
例如
$y[n] = (x[n])^2, \ \ for\ each\ n$
線性系統
線性系統由疊加性來定義。對於一個系統$T$，如果$y_1[n]$和$y_2[n]$分別是輸入為$x_1[n]$和$x_2[n]$時某一系統的響應，那么當且僅當下式成立時，該系統是線性的
$\begin{align*}
&T\{x_1[n]+x_2[n]\} &=& T\{x_1[n]\}+T\{x_2[n]\} &=& y_1[n]+y_2[n]\\
&T\{ax[n]\}&=&aT\{x[n]\}&=&ay[n]
\end{align*}$
式中$a$為任意常數。上述第一個性質稱為可加性，第二個性質稱為齊次性或比例性。這兩個性質結合在一起就稱為疊加原理，寫成
$T\{ax_1[n]+bx_2[n]\} = aT\{x_1[n]\}+bT\{x_2[n]\}$
對於任意常數$a,b$都成立。推廣到多個輸入的疊加如下，
$x[n] = \displaystyle{\sum_ka_kx_k[n]}$
那么一個線性系統的輸出就一定是
$y[n] = \displaystyle{\sum_ka_ky_k[n]}$
時不變系統
時不變（time-invariant）系統指的是：輸入序列的移位或延遲將引起輸出序列相應的位移或延遲。具體地說，假設一個系統將值為$x[n]$的輸入序列變換成$y[n]$的輸出序列，如果這個系統是時不變的，則對所有的$n_0$，值為$x_1[n] = x[n-n_0]$的輸入序列將產生值為$y_1[n] = y[n-n_0]$的輸出序列。
和線性性質的情況相同，要證明一個系統是時不變的，就得做一般性的證明，而不能在輸入信號方面做任何特別的假設。令一方面，要證明不是時不變性則只需要找到一個時變性的反例。
因果性
如果對每一個選取的$n_0$，輸出序列在$n=n_0$的值僅僅取決於輸入序列在$n\leqslant n_0$的值，則該系統就是因果的。該系統不可以用超前的輸入序列部分來得到當前的輸出。
穩定性
當且僅當每一個有界的輸入序列都產生一個有界的輸出序列時，則稱該系統在有界輸入有界輸出（BIBO）意義下是穩定的。
如果存在某個固定的有限正數$B_x$，使得下式成立：
$|x[n]|\leqslant B_x < \infty,\ for\ each\ n$
則輸入$x[n]$就是有界的。穩定性要求對於每一個有界的輸入，都存在一個固定的有限正數$B_y$，使得下式成立：
$|y[n]|\leqslant B_y < \infty, \ for\ each\ n$
同樣，穩定性也是系統的性質，即要求對所有有界的輸入，其輸出都是有界的。