前言
當你學習了本篇博文后，如果感覺還需要深入學習，可以閱讀函數的奇偶性周期性習題；
周期概念
(1)、周期函數：對於函數\(y＝f(x)\)，如果存在一個非零常數 \(T\)，使得當\(x\) 取定義域內的任何值時，都有\(f(x+T)=f(x)\)，那么就稱函數\(y＝f(x)\)為周期函數，稱\(T\) 為這個函數的周期。
- 如果\(\cdots\)，那么\(\cdots\)句式，說明不是所有的函數都滿足\(f(x+T)=f(x)\)，即有些函數不是周期函數。
(2)、最小正周期：如果在周期函數\(f(x)\)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做\(f(x)\)的最小正周期。
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理解概念中的關鍵詞，知道有些函數如\(f(x)=2^x\)不是周期函數，有些函數僅有正周期如\(f(x)=sinx，x\in[0，+\infty)\)或者僅有負周期；
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常函數\(f(x)=c(c為常數)\)沒有最小正周期，如\(f(x)=c\)，則\(f(x+T)=c\)，此時的\(T\)沒有最小的正數。
常見方式
- 1、以圖像的形式給出；
解讀圖像，從圖像中我們就可以找出周期\(T\)。
- 2、以周期的定義式給出；
常見定義式：\(f(x+4)=f(x)\Longrightarrow T=4\)
定義式的常見變形：\(f(x+2)=f(x-2)\)或者\(f(x+3)=f(x-1) \Longrightarrow T=4\)
- 3、以周期性的結論給出(不妨設\(a>0\))；
結論1：\(f(x+a)=-f(x)\)或者變形 \(f(x+a)+f(x)=0\Longrightarrow T=2a\)；推導：[1]
引申1：\(f(x+a)=b-f(x)\)或者變形\(f(x+a)+f(x)=b\Longrightarrow T=2a\)；推導：[2]
結論2：\(f(x+a)=\cfrac{k}{f(x)}(k\neq 0)\)或者變形\(f(x+a)\cdot f(x)=k \Longrightarrow T=2a\)；推導：[3]
- 4、以三個連續自變量的形式給出
給出表達式：\(f(x+2)=f(x+1)-f(x)\Longrightarrow f(x+3)=-f(x)\Longrightarrow T=6\)；推導：[4]
- 5、以奇偶性和對稱性結合形式給出周期性；
引例，已知函數\(f(x)\)是奇函數，且滿足\(f(2-x)=f(x)\)，則可知函數的周期\(T=4\)；推導：[5]
- 6、以軸對稱和中心對稱結合形式給出周期性；
引例，已知函數\(f(x)\)的圖像關於點\((3,0)\)對稱，且滿足\(f(2-x)=f(x)\)，則可知函數的周期\(T=8\)；推導：[6]
其他方式
- 0、分段函數的部分周期性
如已知\(f(x)\)的定義域為\(R\)，且\(f(x)=\begin{cases}2^{-x}-1，&x\leq 0 \\f(x-1)，&x>0\end{cases}\)，
則函數在\(x<0\)上沒有周期性，但是在\(x>0\)上有周期性，周期是\(T=1\)，
- 1、以賦值法的模式給出
比如表達式：\(f(x+6)=f(x)+f(3)\)，且\(f(x)\)為偶函數，\(\Longrightarrow T=6\)(賦值法)；[7]
- 2、以賦值法[更難]的模式給出
引例：已知函數\(f(x)\)滿足\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，且\(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)\)，求\(f(0)+f(1)+\) \(f(2)+\) \(\cdots+\) \(f(2016)\)的值。[8]
- 3、以綜合表達式的形式給出；
比如給出\(f(x+2)=\cfrac{1}{2}f(x)\)，意味着周期性和伸縮性同時起作用。
- 4、以新定義和函數的迭代形式給出：
分析：本題目屬於新定義題目，融合考查函數的周期性；
由題目的定義可知，\(f(8)\)表示的是\(8^2+1\)的各位數字之和，
由於\(8^2+1=65\)，則\(f(8)=6+5=11\)，這樣\(f_1(8)=f(8)=6+5=11\)，
由於\(11^2+1=122\)，則\(f(11)=1+2+2=5\)，故\(f_2(8)=f(f_1(8))=f(11)=1+2+2=5\)，
由於\(5^2+1=26\)，則\(f_3(8)=f(f_2(8))=f(5)=2+6=8\)，
由於\(8^2+1=65\)，故\(f_4(8)=f(f_3(8))=f(8)=6+5=11\)，
由於\(11^2+1=122\)，故\(f_5(8)=f(f_4(8))=f(11)=1+2+2=5\)，
故函數\(f_n(8)\)的周期\(T=3\)，\(f_{2020}(8)=f_{673\times 3+1}(8)=f_1(8)=f(8)=11\);
故答案為\(11\).
數列周期
- 由於數列是特殊的函數，故數列的周期推導過程其實也與函數的周期推導是一致的。
比如數列\(\{a_n\}\)滿足關系：\(a_{n+2}=a_{n+1}-a_n\)，則可以推出數列的周期\(T=6\)；
解釋：\(f(n+2)=f(n+1)-f(n)\Longrightarrow f(n+3)=-f(n)\Longrightarrow T=6\)
補遺：
\(f(x)+1=\cfrac{1}{f(x+1)}\)，則周期為\(T=?\)
【常見結論1推導過程】：
由題目可知，\(f(x+a)=-f(x)\)，則\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]\)
\(\xlongequal[整體代換]{用x+a代換已知式中的x}-f(x+a)\xlongequal[代換]{用已知f(x+a)=-f(x)}-[-f(x)]=f(x)\)
從而，\(\Longrightarrow T=2a\)。 ↩︎【常見結論1的引申推導】：
\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=b-f(x+a)=b-[b-f(x)]=f(x)\Longrightarrow T=2a\)
具體例子，\(f(x)+f(x+4)=16\)，周期\(T=8\)。 ↩︎【常見結論2推導過程】：
\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\cfrac{k}{f(x+a)}=\cfrac{k}{\cfrac{k}{f(x)}}= f(x)\)
從而，\(\Longrightarrow T=2a\) ↩︎【三個連續自變量的形式推導過程】
由已知\(f(x+2)=f(x+1)-f(x)①\)，
用\(x-1\)代換\(x\)，得到由此得到\(f(x+1)=f(x)-f(x-1)②\)，
①②兩式相加得到\(f(x+2)=-f(x-1)\)，
即\(f(x+3)=-f(x)\)，故周期為\(T=6\)， ↩︎分析：則由\(\begin{align*} f(2-x)&=f(x)\\- f(-x)&= f(x)\end{align*}\Bigg\}\)
\(\Longrightarrow f(2-x)=-f(-x)\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow\)周期\(T=4\) ↩︎分析：由函數\(f(x)\)的圖像關於點\((3,0)\)對稱，即有\(f(x)+f(6-x)=0\)，
則由\(\begin{align*} f(x)&=f(2-x)\\ f(x)&=-f(6-x)\end{align*}\Bigg\}\)\(\Longrightarrow f(2-x)=-f(6-x)\)
\(\Longrightarrow f(2-x)=-f[4+(2-x)]\Longrightarrow f(x)=-f(4+x)\Longrightarrow\)周期\(T=8\) ↩︎提示：用到賦值法，令\(x=-3\)，則有\(f(-3+6)=f(-3)+f(3)\)，再由奇偶性推出\(f(3)=0\)，從而\(f(x+6)=f(x)\)，故\(T=6\)。
引申：\(f(x+6)=f(x)+n\cdot f(3)(n\in N^*)\)，且\(f(x)\)為偶函數，\(\Longrightarrow T=6\)(賦值法)
同理，\(f(x+4)=f(x)+f(2)\)可以推出周期\(T=4\)。 ↩︎分析：令\(x=y=0\)，則有\(2f(0)=2f^2(0)\)，得到\(f(0)=0或f(0)=1\)；
再令\(x=1，y=0\)，則有\(2f(1)=2f(1)f(0)\)，得到\(f(0)=1\)；
又題目已知\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，令\(y=1\)，則有\(f(x+1)+f(x-1)=2f(x)f(1)=f(x)\)，
即就是\(f(x+1)+f(x-1)=f(x)①\)，由此得到\(f(x+2)+f(x)=f(x+1)②\)，
①②兩式相加得到\(f(x+2)=-f(x-1)\)，即\(f(x+3)=-f(x)\)，故周期為\(T=6\)， ↩︎