(分析中的反例)兩個周期函數,它們的和不是周期函數.
證. $\sin x$和$\sin \alpha x$在$(-\infty,+\infty)$上均是周期函數,其中$\alpha$為無理數.但$\sin x+\sin \alpha x$不是周期函數.
假設$\sin x+\sin \alpha x$是具有非零周期$T$的周期函數,則
$$
\sin \left( x+T \right) +\sin \alpha \left( x+T \right) =\sin x+\sin \alpha x,
$$
故
$$
2\cos \left( x+\frac{T}{2} \right) \sin \frac{T}{2}=-2\cos \left( \alpha x+\frac{\alpha T}{2} \right) \sin \frac{\alpha T}{2}.
$$
取$x=\frac{\pi}{2}$,則$\sin \frac{\alpha T}{2}=0$,則$\alpha T=2p\pi$;取$\alpha x=\frac{\pi} {2}$,則$\sin \frac{T}{2}=0$,則$T=2q\pi$,其中$p,q$都是非零整數.故$\alpha T=2p\pi=\alpha\cdot 2q\pi$,即$\alpha=\frac{p}{q}$,這與$\alpha$是無理數矛盾.
\begin{verse}
如果你想學會游泳，你必須下水；
如果想成為解題能手，你必須解題。——波利亞
\end{verse}
\section{數系表}
$$
\text{復數}\left\{ \begin{array}{l}
\text{實數}\left\{ \begin{array}{l}
\text{有理數}\left\{ \begin{array}{l}
\text{正有理數}\left\{ \begin{array}{l}
\text{正整數}\\
\text{正分數}\\
\end{array} \right.\\
\text{零}\\
\text{負有理數}\left\{ \begin{array}{l}
\text{負整數}\\
\text{負分數}\\
\end{array} \right.\\
\end{array} \right.\\
\text{無理數}\left\{ \begin{array}{l}
\text{正無理數}\\
\text{負無理數}\\
\end{array} \right.\\
\end{array} \right.\\
\text{虛數}\\
\end{array} \right.
$$
\section{實數}
(1)有理數、無理數、實數
整數與分數統稱有理數.有理數集是整數集的擴張.任何一個有理數都可以表示為$p/q$的形式,其中$p$、$q$為互質整數,且$q\neq 0$.包括整數、有限小數和無限循環小數,例如$0,1,-1,\frac{1}{2},0.314,0.\dot{3}$.
無限不循環小數稱為無理數.常見的無理數有$\sqrt{2},\pi$等.
“有理數”這一名稱不免叫人費解,有理數並不比別的數更“有道理”.事實上,這似乎是一個翻譯上的失誤.有理數一詞是從西方傳來,在英語中是rational number.而rational通常的意義是“理性的”.中國在近代翻譯西方科學著作,依據日語中的翻譯方法,以訛傳訛,把它譯成了“有理數”.但是,這個詞來源於古希臘,其英文詞根為ratio,就是比率的意思.所以rational number其實就是整數的“比”.與之相對, “無理數”就是不能精確表示為兩個整數之比的數,而並非沒有道理.
有理數和無理數統稱實數.
(2)實數的絕對值
$$|a|=\begin{cases}
a, & a>0, \\
0, & a=0, \\
-a, & a<0.
\end{cases}$$
絕對值的幾何意義: $|x|$表示數軸上的點$x$到原點$0$的距離,而$|x-a|$表示數軸上的點$x$到點$a$的距離.
(3)數的運算律
加法滿足交換律($a+b=b+a$)、結合律($(a+b)+c=a+(b+c)$);
乘法滿足交換律($ab=ba$)、結合律($(ab)c=a(bc)$).
乘法滿足對於加法的分配律($a(b+c)=ab+ac$).
(4)數集的記號
復數($\mathbb{C}$)、實數($\mathbb{R}$)、有理數($\mathbb{Q}$)、自然數($\mathbb{N}$,包含0和正整數)、正整數($\mathbb{N_+}$或$\mathbb{N^\ast}$).
\section{復數}
為了求解形如$x^2=-1$的沒有實數解的一元二次方程,可引入復數.
(1)虛數單位
數$i$滿足$i^2=-1$, $i$稱為虛數單位,規定$i$可與實數在一起按實數的運算律進行四則運算.
$i$的整數冪具有如下周期性質:
$i^{4n}=1,i^{4n+1}=i,i^{4n+2}=-1,i^{4n+3}=-i\,(n\in \mathbb{Z})$.
(2)復數
形如$a+bi\,(a,b\in \mathbb{R})$的數叫復數, $a$、$b$分別稱為復數的實部和虛部,通常以$\mathbb{C}$表示復數集,以$z$表示復數.
兩個復數當且僅當它們的實部和虛部相等時相等.
(3)復數的表示法
(a)復數的代數式: $z=a+bi$.
(b)復數的幾何表示:復數$z=a+bi$與復平面上以坐標原點$O$為起點、以點$z(a,b)$為終點的向量$\overrightarrow{Oz}$一一對應.向量$\overrightarrow{Oz}$的長度$r$稱為復數$a+bi$的模(或絕對值),記作$|a+bi|$或$\left|\overrightarrow{Oz}\right|$. $x$軸正方向到$\overrightarrow{Oz}$的角$\theta$稱為復數$a+bi$的輻角,滿足$-\pi<\theta\leq \pi$的輻角$\theta$的值稱為輻角的主值.
(c)復數的三角式: $a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)$,其中
(2014年華中科技大學理科實驗班選拔試題)
1、若\(a\)為正整數而\(\sqrt a\)不為整數，證明：\(\sqrt a\)為無理數.
2、試證：除\(0,0,0\)外，沒有其他整數\(m,n,p\)使得\[m+n\sqrt2+p\sqrt3=0.\]
四、（本題共12分） 證明：設\(m\)是任一正整數，則\(a_m=\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\dfrac15+\cdots+\dfrac1{2^m}\)不是整數．
若$a,b$都是有理數,且$a<b$,則必存在一個無理數$\alpha$,使$a<\alpha<b$.
因為$a<b,\sqrt{2}a<\sqrt{2}b$,
\[
\left( \sqrt{2}-1 \right) a<\left( \sqrt{2}-1 \right) b,\quad \sqrt{2}a<\left( \sqrt{2}-1 \right) b+a.\tag{1}
\]
又$a<b$,所以$a<\sqrt{2}b-\sqrt{2}b+b$,
即
\[
a<\sqrt{2}b-\left( \sqrt{2}-1 \right) b,\quad \left( \sqrt{2}-1 \right) b+a<\sqrt{2}b.\tag{2}
\]
由(1)和(2)可得$\sqrt{2}a<\left( \sqrt{2}-1 \right) b+a<\sqrt{2}b$,則
$$a<\frac{\left( \sqrt{2}-1 \right) b+a}{\sqrt{2}}<b,$$
即$a,b$之間必存在一個無理數
$$\alpha=\frac{\left( \sqrt{2}-1 \right) b+a}{\sqrt{2}}=\frac{2b+\sqrt{2}(a-b)}{2}.$$
由於$a,b$的任意性,本題結論實際上表明:任意兩有理數之間必存 在無數個無理數.