三角函數公式

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三角函數是數學中屬於 初等函數中的 超越函數的函數。它們的本質是任何角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在 平面直角坐標系中定義的。其 定義域為整個 實數域。另一種定義是在 直角三角形中，但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的 極限和 微分方程的解，將其定義擴展到復數系。

三角函數公式看似很多、很復雜，但只要掌握了三角函數的本質及內部規律，就會發現三角函數各個公式之間有強大的聯系。而掌握三角函數的內部規律及本質也是學好三角函數的關鍵所在。

 

 

中文名

三角函數公式

外文名

Formulas of trigonometric functions

適用領域

幾何，代數變換，數學、物理、地理、天文等

應用學科

數學、物理、地理、天文地理等

目錄

1. 1 定義式
2. 2 函數關系
3. 3 誘導公式
4. 4 基本公式

1. ▪ 和差角公式
2. ▪ 和差化積公式
3. ▪ 積化和差公式
4. ▪ 倍角公式
5. ▪ 半角公式
6. ▪ 萬能公式

1. ▪ 輔助角公式
2. 5 其它公式
3. ▪ 正弦定理
4. ▪ 余弦定理
5. ▪ 降冪公式

1. ▪ 冪級數
2. ▪ 泰勒展開式
3. ▪ 萬能公式
4. ▪ 傅里葉級數

定義式

編輯  播報

	銳角三角函數	任意角三角函數
圖形	直角三角形	任意角三角函數
正弦（sin）
余弦（cos）
正切（tan或tg）
余切（cot或ctg）
正割（sec）
余割（csc）

表格參考資料來源： 現代漢語詞典  [1]  ．

函數關系

編輯  播報

倒數關系：①

；②

；③

。

商數關系：①

；②

。

平方關系：①

；②

；③

。

誘導公式

編輯  播報

公式一：設

為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：

公式二：設

為任意角，

與

的三角函數值之間的關系：

公式三：任意角

與

的三角函數值之間的關系：

公式四：

與

的三角函數值之間的關系：

公式五：

與

的三角函數值之間的關系：

公式六：

及

與

的三角函數值之間的關系：

記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限  [2]  ．即形如（2k+1）90°±α，則函數名稱變為余名函數，正弦變余弦，余弦變正弦，正切變余切，余切變正切。形如2k×90°±α，則函數名稱不變。

誘導公式口訣“奇變偶不變，符號看象限”意義：

k×π/2±a(k∈z)的三角函數值

（1）當k為偶數時，等於α的同名三角函數值，前面加上一個把α看作銳角時原三角函數值的符號；

（2）當k為奇數時，等於α的異名三角函數值，前面加上一個把α看作銳角時原三角函數值的符號。

記憶方法一：奇變偶不變，符號看象限：

奇變偶不變：其中的奇偶是指π/2的奇偶數倍，變與不變是指三角函數名稱的變化，若變，則是正弦變余弦，正切變余切。

符號看象限：根據角的范圍以及三角函數在哪個象限的正負，來判斷新三角函數的符號。

記憶方法二：無論α是多大的角，都將α看成銳角．

誘導公式

以誘導公式二為例：

若將α看成銳角（終邊在第一象限），則π+α是第三象限的角（終邊在第三象限），正弦函數的函數值在第三象限是負值，余弦函數的函數值在第三象限是負值，正切函數的函數值在第三象限是正值。這樣，就得到了誘導公式二。

以誘導公式四為例：

誘導公式

若將α看成銳角（終邊在第一象限），則π-α是第二象限的角（終邊在第二象限），正弦函數的三角函數值在第二象限是正值，余弦函數的三角函數值在第二象限是負值，正切函數的三角函數值在第二象限是負值。這樣，就得到了誘導公式四。

誘導公式的應用：

運用誘導公式轉化三角函數的一般步驟：

誘導公式

特別提醒：三角函數化簡與求值時需要的知識儲備：①熟記特殊角的三角函數值；②注意誘導公式的靈活運用；③三角函數化簡的要求是項數要最少，次數要最低，函數名最少，分母能最簡，易求值最好。

基本公式

編輯  播報

和差角公式

二角和差公式

三角和公式

和差化積公式

口訣：正加正，正在前，余加余，余並肩，正減正，余在前，余減余，負正弦．

積化和差公式

倍角公式

二倍角公式

三倍角公式

證明：

sin3a

=sin(a+2a)

=sin2a·cosa+cos2a·sina

=2sina(1-sin 2a)+(1-2sin2a)sina

=3sina-4sin 3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos 2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa

=4cos 3a-3cosa

sin3a

cos3a

上述兩式相比可得：

tan3a

四倍角公式

sin4a=-4×[cosa·sina·(2×sin 2a-1)]

cos4a=8cos 4a-8cos2a+1

tan4a=(4tana-4tan 3a)/(1-6tan2a+tan4a) [3] 

五倍角公式

n倍角公式

應用 歐拉公式：

.

上式用於求n倍角的三角函數時，可變形為：

所以

其中，Re表示取實數部分，Im表示取虛數部分．而

所以

半角公式

（正負由

所在的象限決定）

萬能公式

輔助角公式

證明：

由於

，顯然

，且

故有：

其它公式

編輯  播報

正弦定理

正弦定理

詳見詞條： 正弦定理

在任意△ ABC中，角 A、 B、 C所對的邊長分別為 a、 b、 c，三角形 外接圓的半徑為 R．則有  [4]  ：

正弦定理變形可得：

余弦定理

詳見詞條： 余弦定理

圖1 余弦定理

對於如圖1所示的邊長為 a、 b、 c而相應角為 α、 β、 γ的△ ABC，有：

也可表示為：

降冪公式

sin²α=[1-cos(2α)]/2

cos²α=[1+cos(2α)]/2

tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

冪級數

c0+c1x+c2x 2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a) 2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)

它們的各項都是 正整數冪的 冪函數，其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數，這種級數稱為冪級數。

泰勒展開式

泰勒展開式又叫冪級數展開法

實用冪級數：

, （!!表示 雙階乘）

在解初等三角函數時，只需記住公式便可輕松作答，在競賽中，往往會用到與圖像結合的方法求三角函數值、三角函數 不等式、面積等等。  [5-6] 

萬能公式

傅里葉級數

傅里葉級數又稱三角級數