三角函數公式整理

誘導公式及其相關常見題型

part 1

奇變偶不變，符號看象限

\[\begin{aligned} &\cos {\left(2\pi + \alpha \right)} =\cos \alpha\\ &\sin {\left( 2\pi + \alpha \right) } = \sin \alpha\\ &\tan {\left( 2\pi + \alpha \right)} = \tan \alpha \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} &\cos {\left(\pi + \alpha \right)} =-\cos \alpha\\ &\sin {\left( \pi + \alpha \right) } = -\sin \alpha\\ &\tan {\left( \pi + \alpha \right)} = \tan \alpha \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} &\cos {\left(-\alpha \right)} =\cos \alpha\\ &\sin {\left(-\alpha \right) } = -\sin \alpha\\ &\tan {\left(-\alpha \right)} = -\tan \alpha \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} &\cos {\left(\pi - \alpha \right)} =-\cos \alpha\\ &\sin {\left( \pi - \alpha \right) } = \sin \alpha\\ &\tan {\left( \pi - \alpha \right)} = -\tan \alpha \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} &\cos {\left(\frac \pi 2 - \alpha \right)} =\sin \alpha\\ &\sin {\left( \frac \pi 2 - \alpha \right) } = \cos \alpha\\ \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} &\cos {\left(\frac \pi 2 + \alpha \right)} =-\sin \alpha\\ &\sin {\left( \frac \pi 2 + \alpha \right) } = \cos \alpha\\ \end{aligned} \]

part2

\[\sin^2x+\cos^2x=1 \]

• 對於高次三角函數式子的化簡，一般直接因式分解或者構造\(\sin^2x+\cos^2x=1\)來達到降冪目的。
• 對於整式，可以將分母看做\(\sin^2x+\cos^2x\)將式子化為齊次式，然后同除
  \(\cos^2x\)可以得到一個與\(\tan x\)相關的式子。然后可以直接解方程或聯立其他式子得到\(\tan x\)。
• 對於根式，一般做法是將其中的\(1\)化為\(\sin^2 x + \cos^2 x\)然后利用完全平方公式去根號。

part3

\(\cos x \sin x\)與\(\sin x +\cos x,\sin x - \cos x\)的關系
直接利用完全平方公式即可。
或者也可以利用齊次式化成\(\tan x\)，然后解直角三角形得到\(\sin x\)和\(\cos x\)，但是一般來說這樣計算量會巨大，所以更正常的做法是直接利用完全平方公式。

part4

\(\sin x\)和\(\cos x\)為方程\(x^2+ax+a=0\)的兩根。求值
利用韋達定理，列出兩個方程，然后再利用\(\cos^2x+\sin^2x=1\)構造方程聯立求解。注意判斷\(\Delta>0\)。

part5

三角形\(ABC\)中，\(\sin(A+B-C)=\sin(A-B+C)\)，三角形形狀？
注意分類。
\(\sin \alpha=\sin \alpha\)->等腰。
\(\sin \alpha=\sin {(\pi -\alpha)}\)->直角。

part7

三角函數圖象。
\(y=\sin x\)的對稱軸為\(x=k\pi+\frac \pi 2,k\in Z\)，對稱中心為\((k\pi,0),k\in Z\)，奇函數
\(y=\cos x\)的對稱軸為\(x=k\pi,k\in Z\)，對稱中心為\((k\pi+\frac \pi 2,0),k\in Z\)，偶函數
\(y=\tan x\)的對稱軸為\(x=k\pi+\frac \pi 2,k\in Z\)，對稱中心為\((k\pi,0),k\in Z\)，奇函數

part8

函數\(y=A\sin(\omega x+\varphi)\)
最小正周期\(T=\frac {2\pi} \omega\)。
\(A\)為函數最值到\(x\)軸的距離。
利用\(y=\sin x\)構造該函數時，先平移再拉伸與先拉伸再平移是不同的。
如：將\(y=\sin x\)向右平移三個單位長度，再將橫坐標放大到原來的\(\frac 1 2\)倍，得到圖象\(y=\sin(2x+3)\)。將\(y=\sin x\)，將橫坐標放大到原來的\(\frac 1 2\)倍，再向右平移三個單位長度，得到圖象\(y=\sin[2(x+3)]=\sin(2x+6)\)。