目錄
- 復數形態
- 傅里葉變換
- 傅里葉變換的意義
一、復數形態
1.1 直角坐表示
高中所學：復數可以在復平面（complex plane）上表示，復平面橫縱坐標分別為實部和虛部，下圖就是復數 4+3i 在復平面上的表示。
1.2 極坐標表示
1.3 指數表示
著名的歐拉公式：
當 r=1，θ=π 時，可以得到數學屆代表性公式：
其實歐拉公式可以從波形取直觀理解：
可以看出，當俯視復數波時，觀察到的投影即是一個實數波，即cosθ；當從左側測視時，得到的投影即是虛部：sinθ。
當然上面的式子還有一個更為普遍的公式：
其中，A為振幅，ω為角速度，f為頻率，ϕ為初試相位，這部分系數和高中課本三角函數所述相同。
另外：歐拉公式的另一種解釋-使用泰勒公式：
把x替換成it，就可以得出
二、傅里葉變換公式
傅里葉級數在數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有着廣泛的應用，這不由得讓人肅然起敬。一打開《信號與系統》、《鎖相環原理》等書籍，動不動就跳出一個"傅里葉級數"或"傅里葉變換"。如今的計算機深度學習也會用到這些，如Gabor濾波器等。本文作簡單介紹：
傅里葉他老人家生於1768年，死於1830年。故傅里葉變化技術也算是老樹開新花。
2.1 傅里葉級數的公式
（推導見下文的附件一，感興趣的可以瀏覽）
2.2 傅里葉指數形式
（推導見下文的附件二，感興趣的可以瀏覽）
2.3 傅里葉變換和傅里葉逆變化
（推導見下文的附件三，感興趣的可以瀏覽）
傅里葉變換：
傅里葉逆變換:
F(ω)叫做f(t)的像函數，f(t)叫做F(ω)的像原函數。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像
2.4 離散傅里葉變換和傅里葉逆變化
（推導見下文的附件四，感興趣的可以瀏覽）
離散傅里葉變換：
離散傅里葉逆變化
三、傅里葉變換的意義
數字信號處理技術是將聲音、圖片或者是視頻進行信息的模擬再將其轉化為數字信息，該技術也是數字時代的標志性技術，目前已經在儀器儀表、通信、計算機以及圖像圖形處理等領域得到了廣泛應用。而數字信號領地最重要的基礎就是傅里葉變換，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。許多波形可作為信號的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅里葉變換用正弦波作為信號的成分。
如下圖所示：傅立葉變換（的三角函數形式）的基本原理是：多個正余弦波疊加（藍色）可以用來近似任何一個原始的周期函數（紅色）。（如同利用對不同琴鍵不同力度，不同時間點的敲擊，可以組合出任何一首樂曲，也可以看作余弦波疊加成的周期函數）
從時域空間和頻域空間看，時域是永遠隨着時間的變化而變化的，而頻域就是裝着裝着正余弦波的空間：
要完整表達曲線，不僅需要頻率空間的振幅情況，還需要初始的相位大小，這樣就能通過一些點位來確定單個波形的情況，從而擬合出整個時空圖像的任意波形。
總結來說：傅立葉變換就是多個正余弦波疊加可以用來近似任何一個原始的周期函數，它實質是是頻域函數和時域函數的轉換。而其中時域就是永遠隨着時間的變化而變化的，而頻域就是裝着裝着正余弦波的空間，代表着每一條正余弦波的幅值，而表示正余弦波除了幅值是不夠的，就還有相位譜。
附件一：
1、設想可以把一個周期函數f(t)通過最簡單的一系列正弦函數來表示
因為正弦函數sin可以說是最簡單的周期函數了。於是，傅里葉寫出下式：
2、通過變形后用三角級數（含sin和cos）來表示
這個n是從1到無窮大，也就是是一個無窮級數，對上式子做變形（來源於高中的三角變換）：
式中，藍色項即為我們需要合並的常數項，
所以傅里葉級數公式得出：
3、通過積分，把各未知系數用f(t)的積分式來表達；
接下來求解A0：
求解an：
同理得出bn：
附件二：
由歐拉公式易知：
代入傅里葉級數求得：
由前面幾個表達式得到：
同理可得：
將兩式都代入傅里葉級數得到其指數表示：
附件三：
傅里葉變換：
傅里葉逆變換：
附件四
由附件三知道：
其中：
因此我們可以簡化公式為
其中：
令N= 2Π，得到如下兩個式子：
離散傅里葉變換：
離散傅里葉逆變化
附件五
https://www.bilibili.com/video/av48286796/?redirectFrom=h5 傅里葉的理解視頻