1、 考慮到一個函數可以展開成一個多項式的和，可惜多項式並不能直觀的表示周期函數，由於正余弦函數是周期函數，可以考慮任意一個周期函數能否表示成為一系列正余弦函數的和。假設可以，不失一般性，於是得到：
f(t)= A0+∑(n=1,∞) Ansin(nωt+Φn)
2、 將后面的正弦函數展開：
Ansin(nωt+Φn)=AnsinΦncosnωt+AncosΦnsinnωt
令 a0/2 =A0,an = AnsinΦn,bn=AncosΦn,x=ωt,可得
f(x)= a0/2+∑(n=1,∞)(ancosnx+bnsinnx)
對兩邊在區間[-π,π]積分，得
ƒ(-π->π) f(x)dx = ƒ(-π->π)a0/2dx +ƒ(-π->π)(∑(n=1,∞) (ancosnx+bnsinnx))dx
ƒ(-π->π) f(x)dx = ƒ(-π->π)a0/2dx +∑(1 -> ∞) (ƒ(-π->π)(ancosnx+bnsinnx)dx)
ƒ(-π->π) f(x)dx = ƒ(-π->π)a0/2dx +∑( 1 -> ∞) [anƒ(-π->π)cosnxdx+bnƒ(-π->π)sinnxdx]
ƒ(-π->π) f(x)dx =a0/2 * 2π +∑( 1 -> ∞) [anƒ(-π->π)cosnxdx+bnƒ(-π->π)sinnxdx]
當n=0時
ƒ(-π->π) f(x)dx = ao * π
於是我們求出了a0的值。
ao = ƒ(-π->π) f(x)dx /π
三角函數系{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……,cosnx,sinnx,……} -------------- ⑴
在區間[-π,π]上正交，就是指在三角函數系⑴中任何不同的兩個函數的乘積在區間[-π,π]上的積分等於0，即
∫[-π->π]cosnxdx=0
∫[-π->π]sinnxdx=0
∫[-π->π]sinkxcosnxdx=0
∫[-π->π]coskxcosnxdx=0
∫[-π->π]sinkxsinnxdx=0
(k,n=1,2,3.....,k≠n)
下面利用三角函數正交性求出an,在原函數兩端乘以cos(nx)再進行積分。
ƒ(-π->π) f(x)*cosnx dx = ƒ(-π->π)a0/2 * cosnx dx +ƒ(-π->π)(∑(n=1,∞)(ancosnx*cosnx + bnsinnx*cosnx))dx
ƒ(-π->π) f(x)*cosnx dx = a0/2 ƒ(-π->π) cosnx dx +∑(n=1,∞)[ an ƒ(-π->π)cosnx*cosnxdx + bn ƒ(-π->π)sinnx*cosnxdx])
根據上面提到的性質，可知 ƒ(-π->π) cosnx dx =0，ƒ(-π->π)sinnx*cosnxdx =0, 因此
ƒ(-π->π) f(x)*cosnx dx = an ƒ(-π->π)[cosnx*cosnxdx]
ƒ(-π->π) f(x)*cosnx dx = an ƒ(-π->π)[1+cos2nx)/2 dx]
ƒ(-π->π) f(x)*cosnx dx = an [ ƒ(-π->π)1/2 dx + ƒ(-π->π)(cos2nx/2 )dx
ƒ(-π->π) f(x)*cosnx dx = an ( π + 1/2 *（ sin2nx|(-π->π))
ƒ(-π->π) f(x)*cosnx dx = an π
得 an = 1/π ƒ(-π->π) f(x)*cosnx dx (n=1，2，3.....)
再用sin(nx)乘，再進行積分就會得到bn,
bn = 1/π ƒ(-π->π) f(x)*sinnx dx (n=1，2，3.....)
於是乎得到了一個任意函數展開成為正余弦函數的通用表達式，同時為什么會出現A0/2而不是直接的A0的原因也很明朗：就是讓整個表達式更具有通用性，體現一種簡潔的美。
通過了以上的證明過程，應該很容易記住傅里葉變換的公式。
到此為止，作為一個工程人員不用再去考慮了，可是作為每一個數學家他們想的很多，他們需要知道右側的展開式為什么收斂於原函數，這個好難，有個叫Dirichlet的家伙證明出如下結論：
這里涉及兩個函數
(1)事先給定一個函數f(x)
(2)根據f(x)構造一個Fourier級數,這是一個形式上的無窮項的和,和函數F(x)不一定存在.所以要判斷它是否收斂.如果不收斂,f(x)與F(x)就毫無關系.
(3)如果判斷出Fourier級數收斂,其和函數為F(x),而F(x)也不一定是f(x)
(4)Dirichlet定理指出,滿足收斂定理2條件時,和函數F(x)恰等於f(x)在點x處左右極限的平均值.
用一個生活中的例子來闡明這過程：
（1）事先給您一只動物（如小兔）的舊衣服,小兔的舊衣服就是f(x)
（2）您根據小兔的舊衣服為它做一件新衣服,新衣服就是F(x),但是衣服F(x)未必能穿（未必收斂）
（3）即使能穿（收斂）,新舊衣服也不一定大小完全一樣(f與F未必相同）
（4）如果滿足一定條件,新衣服F(x)在某些地方（f(x)連續點）與舊衣服f(x)完全相同.新衣服F(x)在某些地方（f(x)的不連續點,像衣服的破洞）與舊衣服f(x)是不相同的.
至此以2π為周期的傅里葉變換證明完畢，只不過我們經常遇到的周期函數我想應該不會這么湊巧是2π，於是乎任意的一個周期函數如何知道其傅里葉變換呢，數學向來都是一個很具有條理性的東西，任意周期的函數的傅里葉變換肯定也是建立在2π周期函數的基礎之上的。
一個以2L為周期的函數f1(x)如何進行傅里葉變換？因為z=2π*x/(2L)=πx/L，可以用 sin z（即sinπx/L）作基函數，用πx/L替換傅里葉變換右邊表達式各項中的x,不難看出就是對原f(x)圖像沿x軸進行縮放L/π倍,顯然這個求和后的新圖像就是f1(x), 於是乎得到如下公式：
f(x)= a0/2+∑(n=1,∞)(ancos n zx +bnsin n zx) = a0/2+∑(n=1,∞)(ancosnπx/L+bnsinnπx/L)
同前面的計算方法，可得
an = 1/L ƒ(-L->L) f(x)*cosn πx/L dx // 基函數為sin πx/L
bn = 1/L ƒ(-L->L) f(x)*sinn πx/L dx // 基函數為sin πx/L
傅里葉函數看起來其實還是比較復雜的，有沒有一種更簡單的表達形式來表示呢。既然提出這個問題，肯定是有的，我個人猜想肯定是復變
函數大師在挖掘復變函數的時候，用復變函數去套用經典的傅里葉變換，偶然間發現的••••••
一個基本的歐拉公式eiθ=cosθ +i*sinθ,這個很容易可以從復數的幾何意義上得知，我們通過取兩個互為相反數的θ可以得到兩個式子，
進而可以得到cos 和 sin 的復數表達形式：
fT(t)= a0/2+∑(n=1,∞)(ancosnω0t+bnsinnω0t) ...........(L)
ejθ=cosθ +j*sinθ (1)
ej-θ= cos-θ +j*sin-θ= cosθ-j*sinθ (2)
(1）+（ 2）,得
cosθ = ( ejθ+ej-θ) /2 （3）
據（1）和(3)，得
sinθ = ( ejθ-ej-θ) /2j
則（L）可變形為
fT(t) = a0/2+ ∑(n=1,∞)( an ( 1/2 * （e(jnω0t)+e(-jnω0t))）+ bn( 1/2 * e(jnω0t)-e(-jnω0t))）)
= a0/2+ ∑(n=1,∞)( an ( 1/2 * （e(jnω0t)+e(-jnω0t))）- bn( j/2 * e(jnω0t)-e(-jnω0t))）)
= a0/2 + ∑(n=1,∞)( (an-jbn)/2 e(jnω0t)+(an+jbn)/2 e(-jnω0t))
令 c0 = a0/2 = 1/T ƒ(-T/2->T/2) fT(t)dt
令 cn = (an-jbn)/2 = 1/T [ ƒ(-T/2->T/2) fT(t) cosnω0t dt - j ƒ(-T/2->T/2) fT(t) sinnω0t dt]
= 1/T ƒ(-T/2->T/2)fT(t)(cosnω0t- jsinnω0t)dt = 1/T ƒ(-T/2->T/2)fT(t)(cos-nω0t + jsin-nω0t)dt
= 1/T ƒ(-T/2->T/2)fT(t) e(-jnωot) dt ( n=1,2,3...)
同理 c_n = (an+jbn)/2 = 1/T [ ƒ(-T/2->T/2) fT(t) ejnω0t dt ( n=1,2,3...)
cn = 1/T ƒ(-T/2->T/2)fT(t) e-jnω0t dt （ n =±1,±2,±3,......)
據 ωon=ωn 得
cn == 1/T ƒ(-T/2->T/2)fT(t) e(-jωnt) dt
看出來了么，在不同波形圖（f(x)表達式不同）中，同一個正弦函數曲線（ωn 或頻率相同)，它們的系數不同，是因為f(x)不同，無它。
fT(t) = c0+∑(n=1,∞)[ cn ejωnt +c_n e-jωnt ]
即
fT(t) = c0+∑(n=-∞,∞)[ cn ejωnt] （ n =0，±1,±2,±3,......)