傅里葉變換相關公式

在學習高數的時候，就接觸了傅里葉變換。也就記得是將一些周期函數表示成一系列三角函數的疊加，不是很理解這個變換的具體意義，就是覺的挺神奇的，可以求一些特殊的積分什么之類的。
到了學習信號與系統的時候，離散序列也可以傅里葉變換，還有一個叫離散傅里葉變換，那時學得很草，考完試之后都混在一起，不知道誰是誰了。

關於什么是傅里葉變化，網上有很多大佬寫的很好。這里我也不打算科普（畢竟墨水不多，想吐也吐不出來），主要目的還是方便自己日后復習，省去翻書查看公式。

粗略地介紹下，傅里葉轉化具體可以包含3個大類：

1. CTFS和CTFT 連續（C）時間（T）傅里葉（F）系數（S）/ 變換（T）
2. DTFS和DTFT 離散（D）時間（T）傅里葉（F）系數（S）/ 變換（T）
3. DFS和DFT 離散（D）傅里葉（F）系數（S）/ 變換（T）

這些英文縮寫值得記憶的，也能夠幫助我們好好理解。

目錄

• 連續時間傅里葉系數/變換
  • 周期的連續信號的CTFS
  • 非周期的連續信號的CTFT
• 離散時間傅里葉系數/變換
  • 周期序列的DTFS
  • 非周期序列的DTFT
• 離散傅里葉系數/變換
  • 周期序列的DFS
  • 非周期序列的DFT
• 總結

連續時間傅里葉系數/變換

周期的連續信號的CTFS

對象：連續的周期信號\(f(t)\)，同時得滿足Dirichlet條件^[1]
表達公式：

• 三角形式（高數學的）

\[\begin{aligned} f(t) &= a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}(a_n \cos{k\Omega t}+b_n\sin{k\Omega t})\\ a_0 &= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}f(t)dt\\ a_k &= 2\cdot\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\cos{n\Omega t}dt\\ b_k &= 2\cdot\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f(t)\sin{n\Omega t}}dt\\ \end{aligned} \]

• 復指數形式（更加通用形式）
  \[\begin{aligned} f(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n e^{jn\Omega t}\\ F_n &= \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt\\ \end{aligned} \]
  兩種形式可以相互轉化，當\(n > 0\)的時候，\(F_n = \frac{1}{2}(a_n - jb_n)\)；當\(-n < 0\)時，\(F_{-n} = \frac{1}{2}(a_n + jb_n)\)。此式當\(n=0\)時\(F_0 = a_0\)。

非周期的連續信號的CTFT

對象：非周期的連續信號，同樣得滿足Dirichlet條件
表達公式：
設對一個非周期的連續信號\(f(t)\)的DTFT記為\(\mathscr F[f(t)]\)，則有

\[\begin{aligned} F(w)=\mathscr{F}[f(t)] &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-jwt} dt\\ \mathscr{F}^{-1}[F(w)] &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(w)e^{jwt}dw \end{aligned} \]

推導：
基本的思路是用一個周期無限長的信號來代替非周期信號，當周期足夠長時可以忽略這種近似帶來的影響。

1. 假設\(f(t)\)是一個有限的連續非周期信號，對它進行一個周期延拓得到一個周期函數\({f_T(t)}\)；

2. 對\({f_T(t)}\)進行DTFS，有\(\displaystyle f_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n e^{jn\Omega t}\)，而\(\displaystyle F_n = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt=\frac{1}{T}F(n\Omega)\)；

3. 當\(T\to +\infty\)時，這種用”無限的周期信號“近似代替”有限的非周期信號“的影響就會越小，此時\(\Omega=\frac{2 \pi}{T}\to 0\)，可記為一個微分\(\Delta w\)，同時\(n\Delta w\)可以看出一個連續量\(w\)，累加運算轉化為積分運算，於是有

   \[\begin{aligned} f(t) &= \lim_{T\to +\infty} f_T(t)\\ &= \lim_{T\to +\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n e^{jn\Omega t}\\ &= \lim_{T\to +\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\Delta w}{2\pi}F(n\Delta w) e^{j\Delta w t}\\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(w)e^{jwt}dw\\ F(w) &= \lim_{T\to +\infty} \int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt\\ &= \lim_{T\to +\infty} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-jwt} dt\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-jwt} dt\\ \end{aligned} \]

也就是說，求一個信號\(f(t)\)的頻譜\(F(w)\)，實際上與頻率/旋轉因子\(e^{-jwt}\)做一個積分，積分對象是時域上的\(t\)；反變換同樣也是一個積分，積分對象是頻域上的\(w\)。

周期信號的DTFT
周期信號的DTFT的推導需要用到一個傅里葉變換對\(\mathscr F(e^{jw_0t})=2\pi \delta(w-w_0)\)，則有

\[\begin{aligned} \mathscr{F}[f_T(t)] &= \mathscr{F}\Big( \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n e^{jn\Omega t}\Big)\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n \mathscr{F}(e^{jn\Omega t})\\ &= 2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n \delta(w-n\frac{2\pi}{T}) \end{aligned} \]

可見，有周期的連續信號在頻域上是一系列的沖激函數之和，即在頻域上是離散的。

離散時間傅里葉系數/變換

周期序列的DTFS

對象：周期的離散序列，無限長的序列必須絕對可和（和收斂）
表達公式：用一系列周期的復指數信號之和表示周期的離散序列

\[\begin{aligned} x_N(n) &= \sum_{k=<N>} a_k e^{jk\frac{2\pi}{N}n}\\ a_k &= \frac{1}{N}\sum_{n=<N>} x_N(n) e^{-jk\frac{2\pi}{N}n} \end{aligned} \]

其中\(a_k\)即為離散時間傅里葉系數（DTFS），注意符號\(\displaystyle\sum_{n=<N>}\)表示的是序列長度為\(N\)，但是起點可以任意起，通常我們取\(n=0,1, \cdots ,N-1\)。值得注意的是，\(a_k\)也是周期的，也是離散的。

復指數函數一定是周期函數，但是復指數序列\(e^{j\Omega n}\)不一定是周期序列，易證當\(\Omega\)為\(2\pi\)的有理數倍的時候才為周期序列。

非周期序列的DTFT

對象：有限長的非周期序列
表達公式：
設一有限的離散非周期序列的DTFT為\(\mathscr{F}[x(n)]\)，則有

\[\begin{aligned} \mathscr{F}[x(n)] &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-jwn}\\ \mathscr{F}^{-1}[X(w)] &= \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(w)e^{jwn}dw\\ \end{aligned} \]

因為\(x(n)\)是有限長度的，因此它的DTFT是復指數函數之和，也是一個連續的周期函數。與CTFT不同的是，DTFT是累加運算，但IDTFT仍是積分，但限制在\(2\pi\)的區間內。
推導：
與周期信號的思路一致，用無限周期的離散序列來近似代替有限的非周期離散序列。

1. 設一個有限的非周期序列\(x(n)\)，進行周期延擴得到\(x_N(n)\)；

2. 對\(x_N(n)\)進行DTFS，有\(\displaystyle x_N(n) = \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} a_k e^{jk\frac{2\pi}{N}n}\)，其中\(\displaystyle a_k = \frac{1}{N}\sum_{n=-N/2}^{N/2-1} x_N(n) e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}=\frac{1}{N}X(\Omega k)\)；

3. 當\(N\to +\infty\)，\(\Omega = \frac{2\pi}{N}\to 0\)可記為微分\(\Delta w\)，離散量\(\Delta w k\)變為連續量\(w\)，累加變為積分，即

   \[\begin{aligned} x(n) &= \lim_{N\to+\infty}x_N(n)\\ &= \lim_{N\to+\infty}\sum_{k=-N/2}^{N/2-1} a_k e^{jk\Omega n}\\ &= \lim_{N\to+\infty}\sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \frac{\Delta w}{2\pi}X(\Delta w k) e^{jk\Omega n}\\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(w)e^{jwn}dw\\ X(w) &= \lim_{N\to+\infty}\sum_{n=-N/2}^{N/2-1} x_N(n) e^{-jk\Omega n}\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-jwn} \end{aligned} \]

周期序列的DTFT
根據變換對\(\mathscr{F}(e^{j\Omega_0 n})=\delta(w - \Omega_0)\)，則對於周期序列\(x_N(n)\)，有

\[\begin{aligned} \mathscr{F}(x_N(n)) &= \mathscr{F}(\sum_{k=<N>} a_k e^{jk\Omega n})\\ &= \sum_{k=<N>} a_k\mathscr{F}(e^{jk\Omega n})\\ &= \sum_{k=<N>} a_k\delta(w-k\Omega) \end{aligned} \]

可見，周期離散序列的DTFT在頻域上是一系列的沖激函數，沖激強度由DFTS的值確定，同時具有周期性。

離散傅里葉系數/變換

實際中我們處理得更多的是離散的、有限長的信號，對離散序列進行DTFT得到的頻譜卻是連續的，計算機是不能直接進行處理的。在上信號與系統老師一直強調，時域上的離散性對應頻域上的周期性，時域上的周期性對應頻域上的離散性。因此，有一個很自然的想法，就是對時域上的有限序列進行周期延拓，這樣頻域上的數據不也是離散的嗎？這就是DFT的基本思想，問題的關鍵是：這種方法好不好呢？准不准呢？

周期序列的DFS

對象：周期序列
說明：DFS可以從DTFS中推導出來，或者說DFS其實是DTFS的另一種形式（多乘了個周期）
表達式：

\[X_N(k) = \rm{DFS}(x_N(n))=Na_k = \sum_{n=<N>} x_N(n) e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}\\ x_N(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=<N>} X_N(k) e^{jk\frac{2\pi}{N}n} \]

非周期序列的DFT

DFT的基本原理：

1. \(x(n)\)進行周期延擴得到\(x_N(n)\)，這樣時域的周期反映到頻域上的離散；

2. 對\(x_N(n)\)進行DFS得到\(X_N(k)\)，這樣時域上的離散反映到頻域上的周期；

3. 取\(X_N(k)\)一個周期的值，得到的就是DFT，即

   \[X(k)=\rm{DFT}[x(n)] = \sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jk\frac{2\pi}{N}n},0 \le k \le N-1\\ x(n) =IDFT[X(k)]= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} X(k) e^{jk\frac{2\pi}{N}n}, 0 \le n \le N-1\\ \]

   DFT可以看成是一個連續函數在時域上和頻域上都被采樣，由采樣定理可知，當對DFT和離散序列乘以相應的采樣函數即可得到原函數，也就是說DFT可以看出CTFT的一個近似。同時，對於一個確定的\(x(n)\)可以唯一延拓成唯一的\(x_N(n)\)，因此DFT是惟一的。

總結

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1. 是指滿足絕對可積、有限的極值點和間斷點的函數 ↩︎