參考書：F. R. Gantmacher 《The Theory of matrices》Vol. 2
1. 厄米、正交矩陣 \(G = I e^{iK}\)，\(I\) 為實對稱對合矩陣，\(K\)為實反對稱矩陣，\(I,K\)對易。
設實矩陣 \(S,T\) 滿足 \(G = S + iT\)，因為 \(G\) 是厄米，所以有
\[S^\top - i T^\top = S + i T, \Rightarrow S 對稱，T 反對稱 \]
因為 \(G\) 是正交陣，所以有
\[E = ( S + i T ) (S - i T) = S^2 + T^2 + i (TS - ST ), \Rightarrow S,T對易，S^2 + T^2 = E \]
因為實數陣 \(S,T\) 是對易的正規算子，所以有正交歸一基，在該基下，\(S\) 對應實數對角陣，\(T\) 對應反對稱的實數正則矩陣。因為 \(S^2 + T^2 = E\)，所以在正則矩陣的每個 \(2\times 2\) 的分塊中，
\[S = Q [ \begin{smallmatrix} \mu & 0 \\ 0 & \mu \end{smallmatrix} ] Q^\top, T = Q[ \begin{smallmatrix} 0 & \nu \\ -\nu & 0 \end{smallmatrix} ]Q^\top, \]
有 \(\mu^2 - \nu^2 = 1\)，那些單個的實數特征值則絕對值為 \(1\)，另外，
\[\epsilon e^{ i[ \begin{smallmatrix} 0 & \varphi \\ -\varphi & 0 \end{smallmatrix} ] } = \epsilon [ \begin{smallmatrix} cosh \varphi & i sinh \varphi \\ -i sinh \varphi & cosh \varphi \end{smallmatrix} ], \]
所以取 \(\mu = \epsilon cosh \varphi, \epsilon = \pm 1, \epsilon sinh \varphi = \nu\) 即可。
所以，\(G = I e^{iK}\)，
\[I = diag\{ \epsilon_1, \epsilon_1, \cdots \}, ~~ K = Q\{ [ \begin{smallmatrix} 0 & \varphi_1 \\ -\varphi_1 & 0 \end{smallmatrix} ], [ \begin{smallmatrix} 0 & \varphi_2 \\ -\varphi_2 & 0 \end{smallmatrix} ], \cdots \}Q^\top。 \]
顯然 \(I\) 是對合陣，\(I,K\)對易。
2. 厄米、正交、正定矩陣\(G\)
多一個正定條件，則\(G\)的特征值都是正的，那么可以計算得到，所有 \(\epsilon = 0\), \(G\) 的特征值為 \(e^{\pm \varphi_1}, \cdots, 1, 1, \cdots\)，上式中 \(I = E\)。
3. 任意復數的正交矩陣 \(Q= R e^{iK}\)，其中 \(R\) 是實數正交矩陣，\(K\) 是實數反對稱矩陣
- 因為 \(Q\) 是正交陣，即 \(Q^\top Q = Q Q^\top = E\)，所以構造 \(Q^\dagger Q\)，既是厄米的，也是正交的，也是正定的，所以有 \(Q^\dagger Q = e^{iK}\), \(K\)是反對易正則形式，如 #1 中所示。
- 假設 \(Q = R e^{iK/2}\), 則有 \(R = Q e^{-iK/2}\)，可以檢驗，\(R\) 是幺正、正交陣，即實數正交陣，而 \(K\) 是實數反對稱陣，所以得證。
這個定理的形式非常妙！就像復數的指數形式一樣！
4. 對稱、幺正矩陣 \(D = e^{iS}\)，\(S\) 是一個實對稱矩陣
證明省略。
5. 任意幺正矩陣 \(U = Re^{iS}\)，\(R\)是實正交陣，\(S\)是實對稱陣。
證明省略。這兩個定理的證明都非常類似於上面記錄的過程。