初步了解機器中浮點數表示方法

浮點數是小數點位置變化的數，能表示的范圍比定點數大很多。

比如二進制數11.11可以表示為111.1×2^-1或1.111×2¹等，我們由此規律能得到二進制數更一般形式N=2^E×F，E稱為階碼，F稱為尾數。這個數在機器里怎么存呢，是把正負符號、2、E、E的正負號、F轉為01序列存起來嗎？

如果由我們自己來設計計算機，這樣的確可以，不過總有人會想出更聰明的辦法。首先符號位必須占一位，2可以省略不存，默認的。階碼E轉為移碼存，這樣就不用存階碼的正負符號了。最后是很講究的尾數，尾數為0當然直接存0，不為0時，尾數域的最高位必須為1，比如0.001×2⁰必須要變0.1×2^-2,也就是小數點后不能為0，像0.001小數點后為0，就要變化階碼，使得小數點移到1前變成0.1，然后只存小數點之后的數，這個過程叫尾數規格化。

所以一般來說，浮點數的機器碼表示如下：

符號位	階碼 （移碼）	尾數(定點小數)

現實中具體到底如何實現有許多方法，比如階碼放在尾數后，符號位放在階碼后，階碼用補碼表示等。
用一道題目來幫助理解：


如圖1所示為計算機中16位浮點數的表示格式。
某機器碼為1110001010000000。
若階碼為移碼且尾數為反碼，其十進制真值為 (1) ;
若階碼為移碼且尾數為原碼，其十進制真值為 (2) ;
若階碼為補碼且尾數為反碼，其十進制真值為 (3) ;
若階碼為補碼且尾數為原碼，其十進制真值為 (4) ，將其規格化后的機器碼為 (5) 。
(1) ～ (4)
A．0.078125
B．20
C．1.25
D．20.969375
(5)
A．1110001010000000
B．11110101000000
C．1101010100000000
D．11110001010000

我的分析：
(1)階碼為移碼，即1110為移碼，對應原碼為0110，其十進制真值為6，尾數001010000000為反碼，正數反碼換成原碼為原形式，其對應十進制真值為2^-2+2^-4=0.3125，所以整個數十進制真值為2⁶×0.3125=20
(2)階碼為移碼，尾數為原碼，和(1)是一樣的。

(3)階碼為補碼，補碼1110對應的原碼為1010，即-2，尾數為反碼，(1)已經分析過為0.3125，則整個數十進制真值為2^-2×0.3125=0.078125
(4)階碼1110為補碼,真值為-2，尾數為原碼，同(3)

(5)浮點數規格化表示，是尾數值不為0時，尾數域最高有效位要為1，比如0.001×2⁰必須要變0.1×2^-2， 題目中尾數域為001010000000第一個0為符號位不管，第二個0是可以消去的，變成010100000000，這樣消去后，階碼要相應地減1變為1101，故規格化后的機器碼1101010100000000

有個名叫IEEE-754的標准就統一了浮點數具體實現方法，目前大多數高級語言都按照IEEE-754標准來規定浮點數的存儲格式，比如Java,還有我們熟知的C語言。

按IEEE-754標准定義的單精度浮點數float：

符號位	階碼 （移碼）	尾數(定點小數)
0位	1~8位	9~31位

雙精度浮點數double

符號位	階碼 （移碼）	尾數(定點小數)
0位	1~11位	12~63位

IEEE-754中尾數的規格化有所不同，之前我們說尾數規格化規定小數點后為1，IEEE-754中就將此固定的1設為默認值去掉了，因此尾數域表示的值為1.xxxx（只存儲xxxx，1是默認有的），這樣使得尾數表示范圍多上一位。

IEEE-754中階碼的移碼也有特別規定，要除去階碼的全0和全1狀態，因此像float中階碼的取值不是0~255，而是1 ~ 254，也就是說這里的階碼的移碼不是簡單地由補碼變符號而來，還要減1，換個說法就是偏移量不為128了，而為127。所以對於float來說，真正指數的范圍為-126 ~+127，所表示的數范圍也就為2^-126 ~2¹²⁷即10^-38 ~10³⁸
舉個栗子

將176.0625表示為符合IEEE-754標准的單精度浮點數。

1. 首先將176.0625化為二進制：10110000.0001
2. 尾數規格化：1.01100000001×2⁷，因此尾數域求出來了，為01100000001
3. 階碼的移碼：7的二進制為00000111，移碼為10000110。
4. 拼接：0 10000110 01100000001000000000000
   尾數域記得要補0使尾數有23位。