函數的對稱性的常用結論

預備知識

①設點\(P(a，b)\)，則點\(P\)關於直線\(x=m\)的對稱點\(Q(2m-a，b)\)，

即兩點\(P(a，b)， Q(2m-a，b)\)關於直線\(x=m\)對稱。

②有關軸對稱的概念

函數自身對稱

注意：下面的結論只涉及到一個函數；

1、若函數\(y=f(x)\)關於原點\((0，0)\)對稱，則\(f(-x)=-f(x)\)或\(f(x)+f(-x)=0\)，反之亦成立；

2、若函數\(y=f(x)\)關於直線\(x=a\)對稱(當\(a=0\)時即關於\(y\)軸對稱)，則\(f(a+x)=f(a-x)\)，反之亦成立；

3、若函數\(y=f(x)\)滿足\(f(a+x)=f(b-x)\)，函數\(y=f(x)\)的圖像關於直線\(x=\cfrac{a+b}{2}\)對稱，反之亦成立；

4、若函數\(y=f(x)\)圖像是關於點\(A(a，b)\)對稱，則充要條件是\(f(x)+f(2a-x)=2b\)。
抽象函數的性質的驗證

5、若函數\(f(x)\)是偶函數，其圖像關於直線\(x=a\)對稱，則\(T=2a(a>0)\)；^[1]

6、若函數\(f(x)\)是奇函數，其圖像關於直線\(x=a\)對稱，則\(T=4a(a>0)\)；^[2]

7、若函數\(f(x)\)的圖像關於兩條直線\(x=a\)和\(x=b\)對稱，則\(T=2|a-b|\)；^[3]

8、若函數\(f(x)\)的圖像關於點\(M(a，0)\)和點\(N(b，0)\)對稱，則\(T=2|a-b|\)；^[4]

9、若函數\(f(x)\)的圖像關於直線\(x=a\)和點\(M(b，0)\)對稱，則\(T=4|a-b|\)；^[5]

兩個函數對稱

以下結論涉及到兩個不同的函數，可以用相關點法證明；

1、若函數\(y=f(x)\)與函數\(y=g(x)\)關於原點\((0，0)\)對稱，

則函數\(f(x)\)上的任意一點\((x_0，y_0)\)關於原點的對稱點\((-x_0，-y_0)\)，必然在函數\(g(x)\)的圖像上，反之亦成立；

2、若函數\(y=f(x)\)與函數\(y=g(x)\)關於某點\((a，b)\)對稱，

則函數\(f(x)\)上的任意一點\((x_0，y_0)\)關於點\((a，b)\)的對稱點\((2a-x_0，2b-y_0)\)，必然在函數\(g(x)\)的圖像上，反之亦成立；

3、若函數\(y=f(x)\)與函數\(y=g(x)\)關於\(y\)軸，即直線\(x=0\)對稱，

則函數\(f(x)\)上的任意一點\((x_0，y_0)\)關於直線\(x=0\)的對稱點\((-x_0，y_0)\)，必然在函數\(g(x)\)的圖像上，反之亦成立；

4、若函數\(y=f(x)\)與函數\(y=g(x)\)關於\(y\)軸，即直線\(x=m\)對稱，

則函數\(f(x)\)上的任意一點\((x_0，y_0)\)關於直線\(x=m\)的對稱點\((2m-x_0，y_0)\)，必然在函數\(g(x)\)的圖像上，反之亦成立；

典例剖析

例1 設函數\(y=f(x)\)，若恆有\(f(a+x)=f(b-x)\)，則該函數圖像是軸對稱圖形，其對稱軸為直線\(x=\cfrac{a+b}{2}\)。

證明：設點\(A(m，n)\)是函數\(y=f(x)\)圖像上的任意一點，則有\(n=f(m)\)

易知，點\(A(m，n)\)關於直線\(x=\cfrac{a+b}{2}\)的對稱點\(B(a+b-m， n)\)

由於已知條件恆有\(f(a+x)=f(b-x)\)，

令其中的\(x=m-a\)，則代入上式可得：\(f(m)=f(b-(m-a))=f(a+b-m)\)

又\(f(m)=n\)，\(f(m)=f(a+b-m)\)，∴\(n=f(a+b-m)\)，即點\(B(a+b-m， n)\)也在函數\(y=f(x)\)的圖像上。

由點\(A(m，n)\)的任意性可知，函數\(y=f(x)\)的圖像關於直線\(x=\cfrac{a+b}{2}\)對稱。

例2 函數\(y=f(x+a)\)的圖像與函數\(y=f(b-x)\)的圖像關於直線_________對稱，並證明。

解：這兩個函數圖象關於直線\(x=\cfrac{b-a}{2}\)對稱。

證明：設點\(P(x，y)\)是函數\(y=f(x+a)\)圖像上的任意一點，則有\(y=f(x+a)\)

又點\(P(x，y)\)關於直線\(x=\cfrac{b-a}{2}\)的對稱點\(Q(b-a-x， y)\)

∴\(y=f(x+a)=f[b-(b-a-x)]\)，即有\(f[b-(b-a-x)]=y\)

∴點\(Q(b-a-x，y)\)在圖象\(y=f(b-x)\)上。

即函數\(y=f(x+a)\)圖像上的任意一點\(P(x，y)\)，

關於直線\(x=\cfrac{b-a}{2}\)的對稱點\(Q(b-a-x，y)\)均在函數\(y=f(b-x)\)圖像上。

故這兩個函數圖象關於直線\(x=\cfrac{b-a}{2}\)對稱。

例3 函數\(y=f(x-a)\)的圖像與函數\(y=f(b-x)\)的圖像關於直線___________對稱，並證明。

解：這兩個函數圖象關於直線\(x=\cfrac{a+b}{2}\)對稱。

證明：設點\(P(x，y)\)是函數\(y=f(x-a)\)圖像上的任意一點，則有\(y=f(x-a)\)

又點\(P(x，y)\)關於直線\(x=\cfrac{a+b}{2}\)的對稱點\(Q(b+a-x，y)\)

∴\(y=f(x-a)=f[b-(b+a-x)]\)，即有\(f[b-(b+a-x)]=y\)

∴點\(Q(b+a-x，y)\)在函數\(y=f(b-x)\)圖像上。

即函數\(y=f(x-a)\)圖像上的任意一點\(P(x，y)\)，

關於直線\(x=\cfrac{b+a}{2}\)的對稱點\(Q(b+a-x，y)\)均在函數\(y=f(b-x)\)圖像上。

故這兩個圖象關於直線\(x=\cfrac{a+b}{2}\)對稱。

反思總結：其實例3可以直接用例2的結論。

這樣用：對稱軸為\(x=\cfrac{b-(-a)}{2}=\cfrac{b+a}{2}\)。

例4 已知函數\(y=f(3-x)\)與\(y=f(1+x)\)關於直線\(x=a\)對稱，則\(a=1\)。

法1：用具體函數做例子，將抽象問題具體化，比如\(f(x)=x^2\)，

則\(f(3-x)=(3-x)^2\)，\(f(1+x)=(1+x)^2\)，做出這兩個圖像可知，

函數\(y=f(3-x)\)與\(y=f(1+x)\)關於直線\(x=1\)對稱，

注意用\(\cfrac{(3-x)+(1+x)}{2}=2\)的算法是錯誤的。

法2：利用圖像變換做抽象說明，以函數\(f(x)\)和\(f(-x)\)為模板來解釋，

函數\(f(x)\)和\(f(-x)\)關於\(y\)軸對稱，將\(f(x)\)向左1個單位得到\(f(x+1)\)，

將\(f(-x)\)向右3個單位得到\(f(-(x-3))=f(3-x)\)，

故此時的兩個函數\(f(x+1)\)與\(f(3-x)\)的對稱軸是\(x=\cfrac{-1+3}{2}=1\)。

例5 已知函數\(y=f(3+x)\)與\(y=f(1-x)\)關於直線\(x=b\)對稱，則\(b=-1\)。

法1：仿上法1，得到\(b=-1\)。

法2：將\(f(x)\)向左3個單位，得到\(f(3+x)\)，將\(f(-x)\)向右1個單位，

得到\(f(-(x-1))=f(1-x)\)，故函數\(y=f(3+x)\)與\(y=f(1-x)\)關於直線\(x=-1\)對稱。

反思總結：

①、這種變換為什么和以前的變換方法規律不一樣了？

若函數\(y=f(x)\)滿足\(f(a+x)=f(b-x)\)，函數\(y=f(x)\)的圖像關於直線\(x=\cfrac{a+b}{2}\)對稱，

此時只涉及一個函數，這個函數是軸對稱圖形，當你做平移變換時，整體跟着動的；

而現在涉及到兩個函數，當你對其中的一個做變換時，那么另外一個應該向反方向平移。

②、怎么理解？

例6 【兩個函數關於某一點對稱】

給定命題，函數\(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)和函數\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})\)的圖像關於原點對稱，試判斷命題的真假。

【分析】：如果函數\(f(x)\)的圖像和函數\(g(x)\)的圖像關於原點對稱，

則函數\(f(x)\)上的任意一點\((x_0，y_0)\)關於原點的對稱點\((-x_0，-y_0)\)，必然在函數\(g(x)\)的圖像上。

解答：先化簡函數\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})=cos(2x-\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{\pi}{2})\)，

\(g(x)=cos[\cfrac{\pi}{2}-(2x-\cfrac{\pi}{4})]=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)，

\(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)

在函數\(f(x)\)圖像上任意取一點\(P(x_0，y_0)\)，

則其關於原點的對稱點為\(P'(-x_0，-y_0)\)，

將點\(P(x_0，y_0)\)代入函數\(f(x)\)，得到\(y_0=sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\)

則\(-y_0=-sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\)，即\(-y_0=sin(2\cdot(-x_0)-\cfrac{\pi}{4})\)，

即點\(P'(-x_0，-y_0)\)在函數\(g(x)=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)上，

也即點\(P'(-x_0，-y_0)\)在函數\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})\)上，

又由點\(P(x_0，y_0)\)的任意性可知，

函數\(f(x)\)和函數\(g(x)\)的圖像必然關於原點對稱，

故為真命題。

---

1. 證明：由函數\(f(x)\)是偶函數，得到\(f(-x)=f(x)①\)；
   又函數圖像關於直線\(x=a\)對稱，得到\(f(x)=f(2a-x)②\)，
   由①②得到，\(f(2a-x)=f(-x)\)，用\(-x\)替換\(x\)，
   即\(f(x+2a)=f(x)\)，故\(T=2a(a>0)\)； ↩︎

2. 證明：由函數\(f(x)\)是奇函數，得到\(-f(-x)=f(x)①\)；
   又函數圖像關於直線\(x=a\)對稱，得到\(f(x)=f(2a-x)②\)，
   由①②得到，\(f(2a-x)=-f(-x)\)，用\(-x\)替換\(x\)，
   即\(f(x+2a)=-f(x)\)，故\(T=4a(a>0)\)； ↩︎

3. 證明：由函數\(f(x)\)的圖像關於直線\(x=a\)對稱，得到得到\(f(x)=f(2a-x)①\)；
   又由函數\(f(x)\)的圖像關於直線\(x=b\)對稱，得到\(f(x)=f(2b-x)②\)；
   即\(f(2a-x)=f(2b-x)\)，即\(f(x+2a)=f(x+2b)\)，用\(x-2a\)替換\(x\)，
   得到\(f(x)=f(x+2(b-a))\)，故則\(T=2|a-b|\)； ↩︎

4. 證明：由函數\(f(x)\)的圖像關於點\(M(a，0)\)對稱，得到\(f(x)+f(2a-x)=0①\)；
   又由函數\(f(x)\)的圖像關於點\(N(b，0)\)對稱，得到\(f(x)+f(2b-x)=0②\)；
   即\(f(2a-x)=f(2b-x)\)，即\(f(x+2a)=f(x+2b)\)，用\(x-2a\)替換\(x\)，
   得到\(f(x)=f(x+2(b-a))\)，故則\(T=2|a-b|\)； ↩︎

5. 證明：由函數\(f(x)\)的圖像關於直線\(x=a\)對稱，得到\(f(x)=f(2a-x)①\)；
   又函數\(f(x)\)的圖像關於點\(M(b，0)\)對稱，得到\(f(x)+f(2b-x)=0\)，
   故\(f(2a-x)=-f(2b-x)\)，用\(-x\)替換\(x\)得到，\(f(x+2a)=-f(x+2b)\)，
   再用\(x-2a\)替換\(x\)，得到\(f(x)=-f(x+2(b-a))\)，
   即\(f(x+2(b-a))=-f(x)\)，故\(T=4|a-b|\)； ↩︎