函數的對稱性

前言

當你學習了本篇博文后，如果感覺還需要深入學習，可以閱讀函數的對稱性習題；

常見結論

• 注意：此時只涉及一個函數，是函數自身具有的對稱性，而不是兩個函數之間的對稱；

1、若函數\(y=f(x)\)關於原點\((0，0)\)對稱，則\(f(-x)=-f(x)\)或\(f(x)+f(-x)=0\)，反之亦成立；

2、若函數\(y=f(x)\)關於直線\(x=a\)對稱，則\(f(a+x)=f(a-x)\)，反之亦成立；

3、若函數\(y=f(x)\)滿足\(f(a+x)=f(b-x)\)，則其圖像關於直線\(x=\cfrac{a+b}{2}\)對稱，反之亦成立；

4、若函數\(y=f(x)\)圖像是關於點\(A(a，b)\)對稱，則充要條件是\(f(x)+f(2a-x)=2b\)。

給出方式

• 1、以圖像的形式給出；

解讀圖像，從圖像中我們就可以找出對稱軸。

• 2、以奇偶性的形式給出[奇偶性是對稱性的特例]；

比如奇函數，\(f(-x)=-f(x)\)或者\(f(-x)+f(x)=0\Longrightarrow\) 對稱中心為\((0，0)\)

比如偶函數，\(f(-x)=f(x)\)或者\(f(-x)-f(x)=0\Longrightarrow\) 對稱軸為\(x=0\)

• 3、以奇偶性的拓展形式給出；

比如\(f(2+x)+f(-x)=2\)，則對稱中心為\((1，1)\)；

比如\(f(x)=f(4-x)\)，則對稱軸為\(x=2\)，原因解釋

• 4、以周期性+奇偶性的形式給出；

如，已知函數\(f(x)\)是奇函數，且滿足\(f(x+4)=-f(x)\)，

則由\(\begin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end{align*}\) \(\big\}\Longrightarrow f(x+4)=f(-x)\Longrightarrow\)對稱軸是\(x=2\)

對稱性應用

例1 【2016高考理科數學全國卷2第12題】【共用對稱中心】已知函數\(f(x)(x\in R)\)滿足\(f(-x)=2-\) \(f(x)\)，若函數\(y=\cfrac{x+1}{x}\)與函數\(y=f(x)\)圖像的交點為\((x_1，y_1)\)，\((x_2，y_2)\)，\(\cdots\)，\((x_m，y_m)\)，則\(\sum\limits_{i=1}^m{(x_i+y_i)}\)的值為【】

$A.0$ $B.m$ $C.2m$ $D.4m$

分析：由題目可知\(f(x)+f(-x)=2\)，即函數\(f(x)\)圖像關於點\((0，1)\)對稱，

而函數\(y=\cfrac{x+1}{x}=1+\cfrac{1}{x}\)圖像也關於點\((0，1)\)對稱，即兩個函數圖像有相同的對稱中心，

那么二者的交點個數一定有偶數個，如圖所示， 可知對橫坐標而言有\(\sum\limits_{i=1}^m{x_i}=0\)，

而對縱坐標而言，成對的點的個數是\(\cfrac{m}{2}\)個，他們中的每一對滿足\(\cfrac{y_1+y_m}{2}=1\)，

即\(y_1+y_m=2\)，故\(\sum\limits_{i=1}^m{y_i}=2\cdot \cfrac{m}{2}=m\)，

故\(\sum\limits_{i=1}^m{(x_i+y_i)}=\sum\limits_{i=1}^m{x_i}+\sum\limits_{i=1}^m{y_i}=m\)，故選B。

例2 【2016高考文科數學全國卷2第12題】【共用對稱軸】已知函數\(f(x)(x\in R)\)滿足\(f(x)=\) \(f(2-x)\)，若函數\(y=|x^2-2x-3|\)與函數\(y=f(x)\)圖像的交點為\((x_1，y_1)\)，\((x_2，y_2)\)，\(\cdots\)，\((x_m，y_m)\)，則\(\sum\limits_{i=1}^m{x_i}\)的值為【】

$A.0$ $B.m$ $C.2m$ $D.4m$

分析：函數\(f(x)(x\in R)\)滿足\(f(x)=f(2-x)\)，則函數的對稱軸是直線\(x=1\)，

而函數\(y=|x^2-2x-3|=|(x-1)^2-4|\)的對稱軸也是直線\(x=1\)，作出函數的圖像如右圖所示，

則二者的交點個數\(m\)一定是偶數個，兩兩配對的個數為\(\cfrac{m}{2}\)，比如\(A\) \(B\)配對，

則有\(\cfrac{x_1+x_m}{2}=1\)，\(x_1+x_m=2\)，故\(\sum\limits_{i=1}^m{x_i}=\cfrac{m}{2}\cdot 2=m\)，故選\(B\)。

例3 【2017全國卷1文科第9題高考真題】已知函數\(f(x)=lnx+ln(2-x)\)，則【】

$A.$在$(0，2)$上單調遞增

$B.$在$(0，2)$上單調遞減

$C.y=f(x)$的圖像關於直線$x=1$對稱

$D.y=f(x)$的圖像關於點$(1，0)$對稱

分析：由於函數\(f(x)\)是復合函數，定義域要使\(x>0，2-x>0\)，即定義域是\((0，2)\)，

又\(f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)^2+1]\)，則由復合函數的單調性法則可知，

在\((0，1)\)上單增，在\((1，2)\)上單減，故排除\(A\)，\(B\)；

若函數\(y=f(x)\)關於點\((1，0)\)對稱，則函數\(f(x)\)必然滿足關系：\(f(x)+f(2-x)=0\)；

若函數\(y=f(x)\)關於直線\(x=1\)對稱，則函數\(f(x)\)必然滿足關系：\(f(x)=f(2-x)\)；

接下來我們用上述的結論來驗證，由於\(f(x)=lnx+ln(2-x)\)，

\(f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx\)，即滿足\(f(x)=f(2-x)\)，故函數\(y=f(x)\)的圖像關於直線\(x=1\)對稱，選\(C\)；

再來驗證\(D\)，發現\(f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)]\neq 0\)，\(D\)選項不滿足。故選\(C\)。

例14 【2019會寧模擬】已知函數\(f(x)\)的定義域為\(R\)，且在\([0,+\infty)\)上單調遞增，\(g(x)=-f(|x|)\)，若\(g(lgx)>g(1)\)，則\(x\)的取值范圍為【】

$A.(0,10)$ $B.(10,+\infty)$ $C.(\cfrac{1}{10},10)$ $D.(0,\cfrac{1}{10})\cup (10,+\infty)$

分析：由於函數\(f(x)\)的定義域為\(R\)，且在\([0,+\infty)\)上單調遞增，

故函數\(g(x)=-f(|x|)\)在\([0,+\infty)\)上單調遞減，且為偶函數，

故\(g(lgx)>g(1)\)即可以變形為\(g(|lgx|)>g(1)\)，則由單調性可知，

\(|lgx|<1\)，即\(-1<lgx<1\)，解得\(\cfrac{1}{10}<x<10\)，故選\(C\)。

例4 【2019屆高三理科數學三輪模擬題】已知函數\(f(x)=e^x+e^{2-x}\)，則\(f(x)\)【】

$A.$在$R$上遞增

$B.$在$R$上遞減

$C.$關於點$(1，2e)$對稱

$D.$關於直線$x=1$對稱

提示：由於函數滿足\(f(x)=f(2-x)\)，故函數\(f(x)\)關於直線\(x=1\)對稱，選\(D\)。

引申：\(f(x)=e^x+e^{1-x}\)；\(g(x)=e^x+e^{-x}\)；

例5 【2018高三文科訓練題】已知函數\(f(x)=lg(4x-x^2)\)，則【】

$A.f(x)$在$(0，4)$上單調遞增

$B.f(x)$在$(0，4)$上單調遞減

$C.y=f(x)$的圖像關於直線$x=2$對稱

$D.y=f(x)$的圖像關於點$(2，0)$對稱

分析：令內函數\(g(x)=4x-x^2>0\)，得到定義域\((0，4)\)，又\(g(x)=-(x-2)^2+4\)，故內函數在\((0，2]\)單減，在\([2，4)\)單增，外函數只有單調遞增，故復合函數\(f(x)\)在\((0，2]\)單減，在\([2，4)\)單增，故排除\(A\)、\(B\)；

要驗證\(C\)選項，只需要驗證\(f(x)=f(4-x)\)即可，這是\(y=f(x)\)的圖像關於直線\(x=2\)對稱的充要條件；

而\(f(4-x)=lg[4(4-x)-(4-x)^2]=lg(16-4x-16+8x-x^2)=lg(4x-x^2)=f(x)\)，故選\(C\)。

若要驗證\(D\)選項，只需要利用\(y=f(x)\)的圖像關於點\((2，0)\)對稱的充要條件，即驗證\(f(x)+f(4-x)=0\)即可。自行驗證，不滿足。

故本題目選\(C\).