前言
抽象函數的性質往往不太好想，所以舉個例子，加以驗證。作為學生，不需要知道那么嚴謹的邏輯證明，只要會用結論就行了。
圖像說明
- 軸對稱函數所舉的例子：\(f(x)=\cfrac{1}{4}(x-2)^2\)；具體函數\(\Rightarrow\)抽象函數；
【結論】若函數\(f(x)\)滿足條件\(f(x)=f(4-x)\)，
則函數是軸對稱圖形，其對稱軸是\(x=\cfrac{(x)+(4-x)}{2}\)\(=2\)；
- 中心對稱函數所舉的例子：\(g(x)=(x-1)^3\)；具體函數\(\Rightarrow\)抽象函數；
【結論】若函數\(g(x)\)滿足條件\(g(x)+g(2-x)=0\)，
則函數是中心對稱圖形，其對稱中心是\((x_0，y_0)\)，
具體坐標算法為\(x_0=\cfrac{(x)+(2-x)}{2}=1\)，\(y_0=\cfrac{y_1+y_2}{2}\)\(=\cfrac{g(x)+g(2-x)}{2}\)\(=\cfrac{0}{2}=0\)；
邏輯證明
- 函數\(f(x)\)的對稱軸為直線\(x=2\)的充要條件是函數\(f(x)\)滿足\(f(x)=f(4-x)\)。
充分性：函數\(f(x)\)滿足\(f(x)=f(4-x)\)，取其上任意一點\((x_0，y_0)\)，
則有\(y_0=f(x_0)\)，則有\(f(x_0)=f(4-x_0)=y_0\)，
說明點\((x_0，y_0)\)和點\((4-x_0，y_0)\)都在函數圖像上，
而這兩個點關於直線\(x=\cfrac{x_0+(4-x_0)}{2}=2\)對稱，
又由於點的任意性可知，函數關於直線\(x=2\)對稱；
必要性：函數\(f(x)\)的對稱軸為直線\(x=2\)，
取其上任意一點\((x_0，y_0)\)，則有\(y_0=f(x_0)\)，
而點\((x_0，y_0)\)關於直線\(x=2\)的對稱點是\((4-x_0，y_0)\)，
故有\(y_0=f(x_0)=f(4-x_0)\)，即\(f(x_0)=f(4-x_0)\)，
又由於點的任意性可知，函數必然滿足\(f(x)=f(4-x)\)。[證畢]
使用方法：
若函數\(f(x)\)滿足\(f(x)=f(2-x)\)，
則是關於直線\(x=\cfrac{x+(2-x)}{2}=1\) 對稱的；
自然若函數\(f(x)\)滿足\(f(1-x)=f(1+x)\)，
則也是關於直線\(x=\cfrac{(1-x)+(1+x)}{2}=1\) 對稱的；
其實表達式\(f(x)=f(2-x)\)和\(f(1-x)=f(1+x)\)刻畫的是同一回事，
用\(1-x\)替換\(f(x)=f(2-x)\)中的\(x\)，就能得到\(f(1-x)=f(1+x)\)。
用此理論，我們還可以主動刻畫函數的對稱性，
其一用圖像刻畫，其二用數學語言表達為\(f(0.5-x)=f(1.5+x)\)；
- 函數\(f(x)\)的對稱中心是\((1，1)\)的充要條件是函數\(f(x)\)滿足\(f(x)+f(2-x)=2\)。
充分性：函數\(f(x)\)滿足\(f(x)+f(2-x)=2\)，取其上任意一點\((x_0，y_0)\)，
則必有\(y_0=f(x_0)\)，
又由於點\((x_0，y_0)\)關於點\((1，1)\)的對稱點為\((2-x_0，2-y_0)\)，
\(f(x_0)+f(2-x_0)=2\)，得到\(y_0+f(2-x_0)=2\)，
即\(2-y_0=f(2-x_0)\)，說明點\((2-x_0，2-y_0)\)也在函數圖像上，
又由於點的任意性可知，函數圖像上任意點關於點\((1，1)\)的對稱點也在函數圖像上；
必要性：函數\(f(x)\)的對稱中心為點\((1，1)\)，
取其上任意一點\((x_0，y_0)\)，其在圖像上，則有\(y_0=f(x_0)\)，
而其對稱點\((2-x_0，2-y_0)\)也在圖像上，故有\(2-y_0=f(2-x_0)\)，
即\(2-f(x_0)=f(2-x_0)\)，即\(f(x_0)+f(2-x_0)=2\)；
又由於點的任意性可知，函數圖像上任意點都滿足\(f(x)+f(2-x)=2\)；[證畢]
使用方法：
若函數\(f(x)\)滿足\(f(x)+f(2-x)=4\)，則其關於點成中心對稱，
對稱中心的坐標\((x_0，y_0)\)這樣求解，
\(x_0=\cfrac{x+(2-x)}{2}=1\)，\(y_0=\cfrac{f(x)+(2-x)}{2}=2\)，
即對稱中心為\((1，2)\)；
自然若函數\(f(x)\)滿足\(f(-x)+f(2+x)=2\)，則也是關於點\((1，1)\)對稱的，
同理我們也可以這樣刻畫一個函數關於點\((1，1)\)對稱。
我們就說函數滿足條件\(f(0.5-x)+f(1.5+x)=2\)或者\(f(3-x)+f(-1+x)=2\)；
典例剖析
所舉的函數例子雖說不是抽象函數，但對稱性的驗證同樣適用。
分析：由於函數\(f(x)\)是復合函數，定義域要使\(x>0，2-x>0\)，即定義域是\((0，2)\)，
又\(f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)^2+1]\)，則由復合函數的單調性法則可知，
在\((0，1)\)上單增，在\((1，2)\)上單減，故排除\(A\)，\(B\)；
若函數\(y=f(x)\)關於點\((1，0)\)對稱，則函數\(f(x)\)必然滿足關系：\(f(x)+f(2-x)=0\)；
若函數\(y=f(x)\)關於直線\(x=1\)對稱，則函數\(f(x)\)必然滿足關系：\(f(x)=f(2-x)\)；
接下來我們用上述的結論來驗證，由於\(f(x)=lnx+ln(2-x)\)，
\(f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx\)，即滿足\(f(x)=f(2-x)\)，故函數\(y=f(x)\)的圖像關於直線\(x=1\)對稱，選\(C\)；
再來驗證\(D\)，發現\(f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)]\neq 0\)，\(D\)選項不滿足。故選\(C\)。
分析：令內函數\(g(x)=4x-x^2>0\)，得到定義域\((0，4)\)，又\(g(x)=-(x-2)^2+4\)，故內函數在\((0，2]\)單減，在\([2，4)\)單增，外函數只有單調遞增，故復合函數\(f(x)\)在\((0，2]\)單減，在\([2，4)\)單增，故排除\(A\)、\(B\)；
要驗證\(C\)選項，只需要驗證\(f(x)=f(4-x)\)即可，這是\(y=f(x)\)的圖像關於直線\(x=2\)對稱的充要條件；
而\(f(4-x)=lg[4(4-x)-(4-x)^2]=lg(16-4x-16+8x-x^2)=lg(4x-x^2)=f(x)\)，故選\(C\)。
若要驗證\(D\)選項，只需要利用\(y=f(x)\)的圖像關於點\((2，0)\)對稱的充要條件，即驗證\(f(x)+f(4-x)=0\)即可。自行驗證，不滿足。
故本題目選\(C\).