傅里葉變換的對稱性質

1.傅里葉變換的對稱性質

解決頻域時域圖形相互映射的關系；

根據傅里葉變換表達式

\[X(j\omega)=\int^{\infty}_{-\infty}x(t)e^{-jwt}dt \]

和傅里葉逆變換表達式

\[x(t)=\frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} X(j\omega)e^{jwt}d\omega \]

變換得

\[\frac{1}{2\pi}X(-jt)=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{\infty}x(t)e^{jwt}dt​ \]

也就是說

\[\mathscr{F}[\frac{1}{2\pi}X(-jt)]=x(\omega) \]

（注意，這里是說用\(-t\)替換原來頻域的\(\omega\)，不要理解成用\(-jt\)來替換 \(\omega\)，如果給了頻域的形狀圖和值（無量綱）那么反轉一下橫軸，改一下縱坐標尺度就行了，這里復數取值情況除外）

也就是說形狀上時頻域應該存在着對應的關系；

另一方面，如果\(f(t)\)為實函數的話，\(F(\omega)\)是共軛對稱的（幅度函數為偶對稱，角度函數\(\varphi(\omega)\)奇對稱，實部偶對稱，虛部奇對稱），你直接假設就能看出來（即\(R(\omega)=\frac{1}{2\pi}(F(j\omega)+F^*(-jw))=\int^{\infty}_{-\infty}f(t)\cos(\omega t)dt\)偶對稱是顯然的）

那么排除了復數域的取值情況，\(X(-jt)\)對應的傅里葉變換的映射只有翻轉一下橫坐標，變換一下縱坐標的尺度就行了，但是對應的形狀是沒有變化的。

2.頻域與時域的相乘與卷積

比如把一個時域的方波信號，使用混頻的方式把這個波搬移到射頻段，那么對應的頻域信號應該是怎樣的？

為了簡單起見，我們考慮一個余弦函數\(cos(\omega_0 t)\)，其中的\(\omega_0\)很高大概在射頻段。

那么可以做如下的變換

\[cos(\omega_0 t)=\frac{1}{2}(e^{-j\omega_0 t}+e^{j\omega_0 t}) \]

我們很容易的知道沖擊函數的變換\(\delta (t)\)與\(1\)之間是一對傅里葉變換對，那么根據上一節當中的推導可以得到下述內容：

\[\mathscr{F}[1]=2\pi \delta(w) \]

（用對稱性質從時域看\(\delta(t)\)或許會更清楚一點）所以在頻域，我們很容易的得到\(cos(\omega_0 t)\)的變換結果

\[\pi(\delta(w-w_0)+\delta(w+w_0)) \]

那么在頻域根據卷積定理，時域的乘積應該等於頻域卷積的結果乘上\(\frac{1}{2\pi}\),對於Dirac函數卷積，就相當於直接移動位置

所以對於時域的方波信號，對應的傅里葉變換為\(F_0(w) = E \tau Sa(\frac{\omega t}{2})\)

於是，采用混頻的方式乘上\(cos(w_0t)\)之后，明顯的就是對兩個方波函數移位相加之后加上\(\frac{1}{2}\)的量化比而已。。也就是說實際的結果等於

\[\frac{1}{2}[F_0(w-w_0)+F_0(w+w_0)] \]

很美的結果。注意卷積定理當中的\(\frac{1}{2 \pi}\)的量化尺度。

3.離散傅里葉變換與快速傅里葉變換的橫坐標應該是什么？

解決使用快速傅里葉變換看圖的問題

離散傅里葉變換是由離散傅里葉級數導出來的。在0~N-1的范圍里面兩個東西實際上是一樣的對於[0,\(N-1\)]范圍里面的序列。如果采樣率是\(f_s\)那么離散傅里葉變換可以寫成

\[X[k]=\sum^{N-1}_0 x[n]W^{kn}_N \]

\[x[n]=\frac{1}{N}\sum^{N-1}_0 X[k]W^{-kn}_N \]

事實上\(X[k]\)的值跟對序列做傅里葉變換並對頻譜進行采樣的得的值是一樣的。但是也有區別，就是范圍從DTFT的0~\(\pi\)變成了0~N-1。也就是說這里的N與采樣率\(f_s\)是對應的。另一方面，因為傅里葉級數對應的實際上是周期函數，對頻譜采樣的頻率間隔實際上對應於時域的周期分之一，如果補零的話相當於手動增加了采樣的時間長度。采樣的頻率變小，DFT的譜線會變得很密。

還有要我要考慮的一個最直接的問題就是在MATLAB當中為什么我們求完FFT之后都要加上一個\(\frac{1}{NFFT}\)。比如說MATLAB當中一般會有這種用法：

y=fft(data,NFFT)/NFFT;

我們知道FFT對應的帕塞瓦爾定理應該表達成

\[\sum^{N-1}_{n=0}|x[n]|^2 = \frac{1}{N} \sum^{N-1}_{k=0}|X[k]|^2 \]

這里fft求得命令的結果就是\(X[k]\)所以MATLAB這里除以\(L\)是想得到什么結果呢？

一般來說時域序列\(x[n]\)是被采樣過的離散序列。那么這個\(X[K]\)與原始那個連續序列的傅里葉變換\(X(j\Omega)\)之間是啥關系呢？

目測下來，其實就是相等的關系，也就是\(X[K] = X(j\Omega)\)，\(\Omega = 2 \pi K /T\)，因為這個公式與離散傅里葉級數的公式，用離散時間傅里葉級數理解這個問題就變得很簡單了，那也就是指定頻率下的諧波分量的幅度即

\[a_n = \frac{1}{N} \sum_{k=<N>} x[k] e^{i n k \frac{2 \pi}{N}} \]

其實這個式子與前面所說是一樣的。

前面所說幅度問題其實就是就是這個問題。但是我之前理解的有個問題就是沒有分清楚離散傅里葉變換這個推導過程與最終過程之間的關系。應該明白，之前所說的幅度加權和周期擴展的關系針對的都是傅里葉級數，而傅里葉級數所描述的是周期函數與諧波的關系。

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