肉眼可見的 Z 變換性質

本文對雙邊 Z 變換的部分常見性質做了簡要的剖析，希望能展示一種輕松的、形象的理解Z變換性質的方法。

背景

Z 變換究竟在做什么？\(X(z)\) 究竟代表了什么？

令 \(z=re^{j\omega}\)，是一個普普通通的伸扭，那么 \(x(n)=z^n\) 也就構成了一個基本的信號：每拍在之前一拍位移的基礎上多做一個 \(z\) 的伸扭。顯然，離散時間傅里葉變換是 \(r=1\) 的特例，此時只有伸縮而沒有扭轉。

現在 Z 變換要做的事情，就是將一個復雜信號 \(x(n)\)，分解成若干個 \(z^n\) 的線性組合的形式。其中，\(z^n\) 分量的多寡（准確還包括相位的偏移），我們用 \(X(z)\) 來表示，於是，你就得到了一個並不嚴格的抽象表達

\[x(n)=\sum_{z} X(z)\cdot z^n \]

先不管這玩意怎么算。我們考慮如何求出 \(X(z)\)，你仍然可以借助“投影”或者“相似度”的類比來理解 Z 變換的式子

\[X(z)=\sum_{n=-\infty} ^ \infty \displaystyle \frac {x(n)} {z^n} \]

言歸正傳，本文我們討論 Z 變換的性質，也就是我們知道一個家伙的 Z 變換，我們想要輕松地推出一個和它長得很相似的家伙的 Z 變換。結合 Z 變換的意義，我們知道信號 \(x(n)\) 中任意 \(z\) 分量的含量（還包括相位偏移），想要推出另一個信號 \(x_1(n)\) 中任意 \(z\) 分量的含量。

因此，在形象理解 Z 變換性質的過程中，應當緊扣：信號 \(x_1(n)\) 中的 \(z\) 分量，對應着信號 \(x(n)\) 中的哪些分量？信號 \(x(n)\) 中的 \(z\) 分量，在經過一些小修改后，變成了信號 \(x_1(n)\) 中的什么？更確切地，一個基本單元 \(z\) 在經過那些小修改后，變成了什么？

時移性質

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，則 \(x(n-n_0) \leftrightarrow \displaystyle \frac {X(z)} {z^{n_0}}\)

我們盯住 \(x(n)\) 中的一個 \(z\)，現在整個信號延遲了 \(n_0\) 拍，也就意味着 \(x_1(n)=x(n-n_0)\)，相當於這個基本單元后退 \(n_0\) 拍，因此它按 \(z\) 倒轉 \(n_0\) 次，即 \(\displaystyle \frac {X(z)} {z^{n_0}}\)。

尺度變換/頻移特性

因為這里的尺度變化和頻移特性本質上是一回事，所以我們放在一起說，直接用一個復頻移特性來代替。

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，則 \(z_0^n x(n) \leftrightarrow X(\displaystyle \frac z {z_0})\)

由於我們讓整個信號每拍都多做一個 \(z_0\) 的伸扭，那么現在每拍做 \(z\) 伸扭的原來每拍做 \(\displaystyle \frac z {z_0}\) 的伸扭，所以現在的 \(z\) 對應着原來的 \(\displaystyle \frac z {z_0}\)。太輕松了！

這里我們還需要關注這個性質的兩個推論，分別是 \(|z|=1\) 和 \(|z|=z\) 時的情況，對應着的不妨稱作純頻移特性和純尺度變換特性。

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，則 \(e^{j\omega_0 n} x(n) \leftrightarrow X(\displaystyle \frac z {e^{j\omega_0}})\)

很簡單，每拍多轉一個 \(\omega_0\)，對應着原來的就是 \(z\) 的扭度減少 \(\omega_0\) 的分量。

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，則 \(r_0^n x(n) \leftrightarrow X(\displaystyle \frac z {r_0})\)

同理，每拍多伸展一個 \(r_0\) 倍，對應着原來的 \(z\) 的伸縮率減少 \(r_0\) 倍的分量。

時域反轉

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，則 \(x(-n) \leftrightarrow X(z^{-1})\)

時域反轉，那就讓所有基本信號 \(z\) 反過來轉，變成 \(z^{-1}\)。

共軛對稱性

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，則 \(x^*(n) \leftrightarrow X^*(z^*)\)

時域取共軛，對於一個 \(z\) 來說，無非就是它的旋轉方向變了，但是伸縮方向不變。同時，因為 \(X(z)\) 描述的伸扭代表了 \(z\) 的量和相，這個初相角，也受共軛影響而取反。因此，不僅需要對 \(z\) 取共軛，還需要對 \(X\) 取共軛。

時域內插

首先說說什么是時域內插，它定義為

\[x_{(k)}(n) = [k|n]\cdot x(\frac n k) \]

考慮一個簡單的栗子，\(x(n)=[1,2,3,4,...]\)，做 \(k=2\) 的時域內插，變成 \(x_{(2)}(n)=[1,0,2,0,3,0,4,0,...]\)。

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，則 \(x_{(k)}(n) \leftrightarrow X(z^k)\)

唔，這個有點費勁。我是否可以模糊地說，一個 \(z\) 在經過時域內插后，變成了 \(z^{\frac 1 k}\)？

所以這里還是最好從式子上看一下，即

\[X_k(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(\frac n k) z^{-k}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-nk}=X(z^k) \]

時域卷積

若 \(x_1(n)\leftrightarrow X_1(n), x_2(n)\leftrightarrow X_2(n)\)，則 \(x_1(n) * x_2(n) \leftrightarrow X_1(z) \cdot X_2(z)\)

我們已經知道，兩個系統的疊加作用在時域上表現為卷積的形式。那么在頻域上呢？系統只是對一個基本信號 \(z\) 提供一個伸扭，那么自然，兩個系統的合作用就是它們伸扭的疊加。

時域求和性質就是時域卷積性質的推論，在這里不做贅述。

z域微分特性

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，則 \(nx(n) \leftrightarrow -z \displaystyle \frac {dX(z)} {dz}\)

這個真的不好說。只能大概說，對序列做 \(n\) 的線性加權后，頻域中關於 \(z\) 的變化特性被凸顯出來？

初值/終值定理

初值定理描述了對於因果序列，根據 Z 變換求時域初值的方式

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，則 \(x(0)=\displaystyle \lim_{z\to \infty} X(z)\)

初值定理是非常直觀的，盯住 Z 變換的定義，

\[X(z)=x(0)+\sum_{n=1}^\infty \frac {x(n)} {z^n} \]

當 \(z\to \infty\) 后，只有 \(n=0\) 時我們才能取得對答案有貢獻的值。

事實上，我們可以稍作修改，

\[z(X(z)-x(0))=x(1) + z\sum_{n=2}^\infty \frac {x(n)} {z^n} \]

類似這樣，我們可以求出任意拍 \(n\) 時的 \(x(n)\)，即

\[x(n) = \lim_{z\to \infty} z^n [X(z)-\sum_{k=0}^{n-1} \frac {x(k)} {z^k}] \]

類似初值定理，當 \(x(n)\) 的終止存在時，有終值定理

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，則 \(x(\infty)=\displaystyle \lim_{z\to1} [(z-1)X(z)]\)

上面我們省略了一些條件。在初值定理中要求極限存在。在終值定理中，要求 \(X(z)\) 除了 \(z=1\) 處最多有一個一階極點，其他極點都必須在單位圓內。