肉眼可见的 Z 变换性质

本文对双边 Z 变换的部分常见性质做了简要的剖析，希望能展示一种轻松的、形象的理解Z变换性质的方法。

背景

Z 变换究竟在做什么？\(X(z)\) 究竟代表了什么？

令 \(z=re^{j\omega}\)，是一个普普通通的伸扭，那么 \(x(n)=z^n\) 也就构成了一个基本的信号：每拍在之前一拍位移的基础上多做一个 \(z\) 的伸扭。显然，离散时间傅里叶变换是 \(r=1\) 的特例，此时只有伸缩而没有扭转。

现在 Z 变换要做的事情，就是将一个复杂信号 \(x(n)\)，分解成若干个 \(z^n\) 的线性组合的形式。其中，\(z^n\) 分量的多寡（准确还包括相位的偏移），我们用 \(X(z)\) 来表示，于是，你就得到了一个并不严格的抽象表达

\[x(n)=\sum_{z} X(z)\cdot z^n \]

先不管这玩意怎么算。我们考虑如何求出 \(X(z)\)，你仍然可以借助“投影”或者“相似度”的类比来理解 Z 变换的式子

\[X(z)=\sum_{n=-\infty} ^ \infty \displaystyle \frac {x(n)} {z^n} \]

言归正传，本文我们讨论 Z 变换的性质，也就是我们知道一个家伙的 Z 变换，我们想要轻松地推出一个和它长得很相似的家伙的 Z 变换。结合 Z 变换的意义，我们知道信号 \(x(n)\) 中任意 \(z\) 分量的含量（还包括相位偏移），想要推出另一个信号 \(x_1(n)\) 中任意 \(z\) 分量的含量。

因此，在形象理解 Z 变换性质的过程中，应当紧扣：信号 \(x_1(n)\) 中的 \(z\) 分量，对应着信号 \(x(n)\) 中的哪些分量？信号 \(x(n)\) 中的 \(z\) 分量，在经过一些小修改后，变成了信号 \(x_1(n)\) 中的什么？更确切地，一个基本单元 \(z\) 在经过那些小修改后，变成了什么？

时移性质

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，则 \(x(n-n_0) \leftrightarrow \displaystyle \frac {X(z)} {z^{n_0}}\)

我们盯住 \(x(n)\) 中的一个 \(z\)，现在整个信号延迟了 \(n_0\) 拍，也就意味着 \(x_1(n)=x(n-n_0)\)，相当于这个基本单元后退 \(n_0\) 拍，因此它按 \(z\) 倒转 \(n_0\) 次，即 \(\displaystyle \frac {X(z)} {z^{n_0}}\)。

尺度变换/频移特性

因为这里的尺度变化和频移特性本质上是一回事，所以我们放在一起说，直接用一个复频移特性来代替。

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，则 \(z_0^n x(n) \leftrightarrow X(\displaystyle \frac z {z_0})\)

由于我们让整个信号每拍都多做一个 \(z_0\) 的伸扭，那么现在每拍做 \(z\) 伸扭的原来每拍做 \(\displaystyle \frac z {z_0}\) 的伸扭，所以现在的 \(z\) 对应着原来的 \(\displaystyle \frac z {z_0}\)。太轻松了！

这里我们还需要关注这个性质的两个推论，分别是 \(|z|=1\) 和 \(|z|=z\) 时的情况，对应着的不妨称作纯频移特性和纯尺度变换特性。

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，则 \(e^{j\omega_0 n} x(n) \leftrightarrow X(\displaystyle \frac z {e^{j\omega_0}})\)

很简单，每拍多转一个 \(\omega_0\)，对应着原来的就是 \(z\) 的扭度减少 \(\omega_0\) 的分量。

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，则 \(r_0^n x(n) \leftrightarrow X(\displaystyle \frac z {r_0})\)

同理，每拍多伸展一个 \(r_0\) 倍，对应着原来的 \(z\) 的伸缩率减少 \(r_0\) 倍的分量。

时域反转

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，则 \(x(-n) \leftrightarrow X(z^{-1})\)

时域反转，那就让所有基本信号 \(z\) 反过来转，变成 \(z^{-1}\)。

共轭对称性

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，则 \(x^*(n) \leftrightarrow X^*(z^*)\)

时域取共轭，对于一个 \(z\) 来说，无非就是它的旋转方向变了，但是伸缩方向不变。同时，因为 \(X(z)\) 描述的伸扭代表了 \(z\) 的量和相，这个初相角，也受共轭影响而取反。因此，不仅需要对 \(z\) 取共轭，还需要对 \(X\) 取共轭。

时域内插

首先说说什么是时域内插，它定义为

\[x_{(k)}(n) = [k|n]\cdot x(\frac n k) \]

考虑一个简单的栗子，\(x(n)=[1,2,3,4,...]\)，做 \(k=2\) 的时域内插，变成 \(x_{(2)}(n)=[1,0,2,0,3,0,4,0,...]\)。

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，则 \(x_{(k)}(n) \leftrightarrow X(z^k)\)

唔，这个有点费劲。我是否可以模糊地说，一个 \(z\) 在经过时域内插后，变成了 \(z^{\frac 1 k}\)？

所以这里还是最好从式子上看一下，即

\[X_k(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(\frac n k) z^{-k}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-nk}=X(z^k) \]

时域卷积

若 \(x_1(n)\leftrightarrow X_1(n), x_2(n)\leftrightarrow X_2(n)\)，则 \(x_1(n) * x_2(n) \leftrightarrow X_1(z) \cdot X_2(z)\)

我们已经知道，两个系统的叠加作用在时域上表现为卷积的形式。那么在频域上呢？系统只是对一个基本信号 \(z\) 提供一个伸扭，那么自然，两个系统的合作用就是它们伸扭的叠加。

时域求和性质就是时域卷积性质的推论，在这里不做赘述。

z域微分特性

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，则 \(nx(n) \leftrightarrow -z \displaystyle \frac {dX(z)} {dz}\)

这个真的不好说。只能大概说，对序列做 \(n\) 的线性加权后，频域中关于 \(z\) 的变化特性被凸显出来？

初值/终值定理

初值定理描述了对于因果序列，根据 Z 变换求时域初值的方式

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，则 \(x(0)=\displaystyle \lim_{z\to \infty} X(z)\)

初值定理是非常直观的，盯住 Z 变换的定义，

\[X(z)=x(0)+\sum_{n=1}^\infty \frac {x(n)} {z^n} \]

当 \(z\to \infty\) 后，只有 \(n=0\) 时我们才能取得对答案有贡献的值。

事实上，我们可以稍作修改，

\[z(X(z)-x(0))=x(1) + z\sum_{n=2}^\infty \frac {x(n)} {z^n} \]

类似这样，我们可以求出任意拍 \(n\) 时的 \(x(n)\)，即

\[x(n) = \lim_{z\to \infty} z^n [X(z)-\sum_{k=0}^{n-1} \frac {x(k)} {z^k}] \]

类似初值定理，当 \(x(n)\) 的终止存在时，有终值定理

若 \(x(n) \leftrightarrow X(z)\)，则 \(x(\infty)=\displaystyle \lim_{z\to1} [(z-1)X(z)]\)

上面我们省略了一些条件。在初值定理中要求极限存在。在终值定理中，要求 \(X(z)\) 除了 \(z=1\) 处最多有一个一阶极点，其他极点都必须在单位圆内。