Z變換
由於\(DTFT\)變換是有收斂條件的，並且其收斂條件比較嚴格，很多信號不能夠滿足條件，為了有效的分析信號，需要放寬收斂的條件，引入\(Z\)變換。
定義
已知序列的\(DTFT\)為
\[X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jwn} \]
當序列\(x[n]\)不滿足收斂條件時，我們讓\(x[n]\)乘以\(r^{-n}\)使它收斂
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]r^{-n}e^{-jwn} \]
令\(z=re^{jw}\)得到
\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} \]
對於所有的\(z\)上式不一定收斂，所以\(Z\)變換是有其收斂域，所以在對一個信號進行\(Z\)變換時，一定要加上它的收斂域，因為對於一些不同的信號，它們的\(Z\)變換相同，但是它們的收斂域不同。僅僅由\(Z\)變換的表達式並不能完全的確定原信號，要加上它的收斂域才能完全的確定原信號。
例:求序列\(x[n]=\alpha^n\mu[n]\)的\(Z\)變換。
解:
\[X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\alpha^nz^{-n}=\frac{1}{1-\alpha z^{-1}} \]
要使上式收斂，則必須滿足\(\vert\alpha z^{-1}\vert<1\),即收斂域為\(\vert z\vert>\vert \alpha\vert\)。
所以序列\(x[n]=\alpha^n\mu[n]\)的\(Z\)變換為
\[X(z)=\frac{1}{1-\alpha z^{-1}},\vert z\vert>\vert \alpha\vert \]
例:求序列\(x[n]=-\alpha^n\mu[-n-1]\)的\(Z\)變換。
解:
\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{-1}-\alpha^nz^{-n}=-\sum_{m=1}^{\infty}(\alpha^{-1}z)^{m}=-\frac{\alpha^{-1}z}{1-\alpha^{-1}z}=\frac{1}{1-\alpha z^{-1}} \]
要使上式收斂，則需要滿足\(\vert\alpha^{-1}z\vert<1\),即收斂域為\(\vert z\vert < \vert \alpha \vert\)
所以序列\(x[n]=-\alpha^n\mu[-n-1]\)的\(Z\)變換為
\[X(z)=\frac{1}{1-\alpha z^{-1}},\vert z\vert < \vert \alpha \vert \]
由上面兩例可知，序列\(x[n]=\alpha^n\mu[n]\)的\(Z\)變換的表達式與序列\(x[n]=-\alpha^n\mu[-n-1]\)的\(Z\)變換的表達式是一樣的，但是它們的收斂域是完全不一樣的，如果只給出其\(Z\)變換的表達式，是不能判斷其原信號是什么的。
\(Z\)變換的性質
設序列\(x[n]\)的\(Z\)變換為\(X(z)\),其收斂域為\(R_{x-}<\vert z\vert <R_{x+}\),序列\(w[n]\)的\(Z\)變換為\(W(z)\),其收斂域為\(R_{w-}<\vert z\vert <R_{w+}\)。
線性性質
設\(y[n]=\alpha x[n]+\beta w[n]\),則其\(Z\)變換為
\[\begin{aligned} Y(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(\alpha x[n]+\beta w[n])z^{-n}\\ &=\alpha\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}+\beta\sum_{n=-\infty}^{\infty}w[n]z^{-n}\\ &=\alpha X(z)+\beta W(z) \end{aligned} \]
其收斂域為$$max{R_{x-},R_{w-}}<\vert z\vert <min{R_{x+},R_{w+}}$$
時移性質
序列\(y[n]=x[n-n_0]\)的\(Z\)變換為
\[\begin{aligned} Y(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n-n_0]z^{-n}\\ &\xrightarrow{m=n-n_0}z^{-n_0}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]z^{-m}\\ &=z^{-n_0}X(z) \end{aligned} \]
除了其收斂域可能包含\(0\)或者\(\infty\),與原收斂域相同。
乘以指數序列
序列\(y[n]=\alpha^nx[n]\)的\(Z\)變換為
\[\begin{aligned} Y(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha^nx[n]z^{-n}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n](z\alpha^{-1})^{-n}\\ &=X(\frac{z}{\alpha}) \end{aligned} \]
其收斂域為\(\vert \alpha \vert R_{x-}< \vert z\vert < \vert \alpha \vert R_{x+}\)
反褶
序列\(y[n]=x[-n]\)的\(Z\)變換為
\[\begin{aligned} Y(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[-n]z^{-n}\\ &\xrightarrow{m=-n}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](\frac{1}{z})^{-n}\\ &=X(\frac{1}{z}) \end{aligned} \]
其收斂域為\(\cfrac{1}{R_{x+}}<\vert z\vert < \cfrac{1}{R_{x-}}\)
共軛
序列\(y[n]=x^{*}[n]\)的\(Z\)變換為
\[\begin{aligned} Y(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x^{*}[n]z^{-n}\\ &=(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n](z^{*})^{-n})^{*}\\ &=X^{*}(z^{*}) \end{aligned} \]
其收斂域未發生改變，因為\(\vert z\vert = \vert z^{*}\vert\)
時域微分
由於
\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} \]
所以
\[\frac{dX(z)}{dz}=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}nx[n]z^{-n-1}\Rightarrow-z\frac{dX(z)}{dz}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}nx[n]z^{-n} \]
所以序列\(y[n]=nx[n]\)的\(Z\)變換為
\[Y(z)=-z\frac{dX(z)}{dz} \]
其收斂域可能去掉\(0\)或者\(\infty\)，其余不變。
卷積
序列\(y[n]=x[n]*w[n]\)的\(Z\)變換為
\[\begin{aligned} Y(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]w[n-m]z^{-n}\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]\sum_{n=-\infty}^{\infty}w[n-m]z^{-n}\\ &\xrightarrow{l=n-m}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]z^{-m}\sum_{l=-\infty}^{\infty}w[l]z^{-l}\\ &=X(z)Y(z) \end{aligned} \]
其收斂域為
\[max\{R_{x-},R_{w-}\}<\vert z\vert <min\{R_{x+},R_{w+}\} \]
有時\(X(z)\)與\(W(z)\)的零極點可能會互相抵消，所以收斂域可能會比這個大。
