【信號與系統】z變換

概述

本文是信號與系統相關內容，描述了 \(z\) 變換相關的一些內容

閱讀本文之前，需要閱讀 ：

《信號與系統-上冊》（高等教育出版社，第三版，鄭君里，應啟珩(héng)，楊為理）
《信號與系統-下冊》第七到八章

\(z\) 變換的推薦教程：誰都看得懂的數字信號處理教程（第13講z變換）
本文僅做回憶筆記用，不適合用於學習。

定義

\(z\) 變換的定義為：

\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} \]

自變量 \(z\) 是一個復變量，且用極坐標的形式表示，即

\[z=re^{j\omega} \]

其中，\(r\) 是 \(z\) 的幅度，\(\omega\) 是 \(z\) 的角度。

例子

例1、序列 \(\delta[n]\) 的 \(z\) 變換

\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta[n]z^{-0}=1\\ \delta[n]\leftrightarrow 1 \]

顯然不需要求和是否收斂，因此 \(0<|z|<\infty\) 即為收斂域，只要 \(z\) 是有限值即可。

變式：序列 \(\delta[n+5]\) 的 \(z\) 變換

\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta[n+5]z^{-(-5)}=z^{5}\\ \delta[n+5]\leftrightarrow z^{5} \]

顯然不需要求和是否收斂，因此 \(0<|z|<\infty\) 即為收斂域。

綜上，有 \(\delta[n+k]\leftrightarrow z^{k}\).

例2、序列 \(u[n]\) 的 \(z\) 變換

\[\begin{aligned} X(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}u[n]z^{-n}=\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n}\\ &=1+z^{-1}+z^{-2}+...\\ &=\frac{1}{1-z^{-1}}\quad (*) \end{aligned} \\ \]

此處，需要討論 \((*)\) 式是否存在，這要求 \(|z^{-1}|<1\)，因此，收斂域為 \(|z|>1\)，因此：

\[u[n]\leftrightarrow \frac{1}{1-z^{-1}};\quad |z|>1 \]

變式： 序列 \((-1)^nu[n]\) 的 \(z\) 變換

\[\begin{aligned} X(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nu[n]z^{-n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^{-n}\\ &=1-z^{-1}+z^{-2}-...\\ &=\frac{1}{1-z^{-2}}-z^{-1}\frac{1}{1-z^{-2}}\quad and\ |z|>1 \end{aligned} \\ (-1)^nu[n]\leftrightarrow \frac{z}{z+1};\quad |z|>1 \]

典型序列的 z 變換

• \(\delta[n+k]\leftrightarrow z^{k};\ 0<|z|<\infty\)

• \(u[n]\leftrightarrow \frac{1}{1-z^{-1}};\ |z|>1\)

• \(a^nu[n]\leftrightarrow \frac{1}{1-az^{-1}};\ |z|>a\)

• \(R_N[n]\leftrightarrow \frac{1-z^{-N}}{1-z^{-1}};\ 0<|z|<\infty\)

  • \(R_N[n]\) 就是從 \(0\) 到 \(N\) 是 \(1\)，其余全部為 \(0\) 的情形，即 \(R_N[n]=u[n]-u[n-N]\)

• \(nu[n]\leftrightarrow \frac{z}{(z-1)^2};\ |z|>1\)

  • 求和時采用錯位相減法。

序列的分類

• 雙邊序列：定義域 \(-\infty<n<\infty\)
• 右序列：定義域 \(n_0<n<\infty\)
  • 右邊序列：定義域 \(0\leqslant n<\infty\)，因果序列
• 左序列：定義域 \(-\infty<n<n_0\)
  • 左邊序列：定義域 \(-\infty<n<0\)，非因果序列
• 有限長序列 / 雙邊序列：定義域 \(n_1 < n < n_1\)

X(z) 的極點和收斂域

使\(X(z)\to \infty\)的\(x\)值稱為極點。
求收斂域時：

• 求出\(X(z)\)的極點\(z_p\)
• 對右邊序列，收斂域為\(|z|>|z_p|\)；對左邊序列，收斂域為\(|z|<|z_p|\)
• 雙邊序列可以分解為左右邊序列之和
• 有限長序列不存在無窮求和的問題，只要滿足\(0<|z|<\infty\)即可

z 變換的性質

• 線性性質：\(ax_1(n)+bx_2(n)=aX_1(z)+bX_2(z)\)
  • 注意收斂域會發生變化，需要重新計算。
• 移位性質：\(x(n\pm n_0)\leftrightarrow z^{\pm n_0}X(z)\)
• 尺度變換特性：\(y(n)=a^nx(n),\ Y(z)=X(a^{-1}z)\)
• 微分特性：\(y(n)=nx(n),\ Y(z)=z\frac{dX(z)}{dz}\)
• 共軛特性：\(y(n)=x^*(n),\ Y(z)=X^*(z^*)\)

初值定理和終值定理：
若\(x(n)\)是因果序列，且\(x(n)\leftrightarrow X(z)\)，則：

• \(x(0)=\lim_{z\to\infty}X(z)\)
• \(x(\infty)=\lim_{z\to1}(z-1)X(z)\)

時域卷積定理：\(x_1(n)*x_2(n)=X_1(z)X_2(z)\)

z 逆變換

\[x(n)=2\pi j\oint_c X(z)z^{n-1}dz \]

直接計算過於復雜，下面展示幾種常見的求反變換的方法。

留數法

挖坑。

部分分式展開法

挖坑。

冪級數展開法（長除法）

由\(X(z)\)的定義，將其展開為冪級數，有：

\[X(z)=...+x(-n)z^n+...+x(n)z^{-n}+... \]

右邊序列的展開式中應包含無數多個\(z\)的負冪項，所以要按降冪長除。
左邊序列的展開式中應包含無數多個\(z\)的升冪項，所以要按升冪長除。
對於雙邊序列，將其分成對應信號的左右兩邊部分，分別按上述原則長除。