前言
判斷依據
一般函數[包括三角函數]都適合的判斷依據，此方法具有普適性；
函數\(f(x)\)關於直線\(x=a\)對稱\(\Leftrightarrow\)\(f(x+2a)=f(-x)\)其等價情形為\(f(-x+2a)\)\(=\)\(f(x)\)或\(f(-x+a)\)\(=\)\(f(x+a)\)或\(f(x+2a)\)\(-\)\(f(-x)\)\(=0\)\(\quad\).
函數\(f(x)\)關於點\((a,b)\)對稱\(\Leftrightarrow\) \(f(x+2a)\)\(+\)\(f(-x)\)\(=2b\)其等價情形為\(f(-x+2a)\)\(+\)\(f(x)\)\(=2b\)或\(f(-x+a)\)\(+\)\(f(x+a)\)\(=2b\)\(\quad\).
分析：由於函數\(f(x)\)是復合函數，定義域要使\(x>0，2-x>0\)，即定義域是\((0，2)\)，
又\(f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)^2+1]\)，
則由復合函數的單調性法則可知，在\((0，1)\)上單增，
在\((1，2)\)上單減，故排除\(A\)，\(B\)；
若函數\(y=f(x)\)關於點\((1，0)\)對稱，則函數\(f(x)\)必然滿足關系：\(f(x)+f(2-x)=0\)；
若函數\(y=f(x)\)關於直線\(x=1\)對稱，則函數\(f(x)\)必然滿足關系：\(f(x)=f(2-x)\)；
接下來我們用上述的結論來驗證，由於\(f(x)=lnx+ln(2-x)\)，
\(f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx\)，即滿足\(f(x)=f(2-x)\)，
故函數\(y=f(x)\)的圖像關於直線\(x=1\)對稱，選\(C\)；
再來驗證\(D\)，發現\(f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)]\neq 0\)，\(D\)選項不滿足。故選\(C\)。
正[余]弦型三角函數[或能化為\(f(x)=A\sin(\omega x+\phi)\)]特有判斷依據，其他函數不能濫用；
- 若函數\(f(x)\)關於直線\(x=\cfrac{\pi}{3}\)對稱，則\(\omega\times\cfrac{\pi}{3}+\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)換句話說，\(x=\cfrac{\pi}{3}\)能使得\(y=\sin(\omega x+\phi)\)取到最值，注意是最大值或者最小值；\(\quad\)，\(k\in \Z\)；
- 若函數\(f(x)\)關於\((\cfrac{\pi}{3},0)\)對稱，則\(\omega\times\cfrac{\pi}{3}+\phi=k\pi\)換句話說，\(x=\cfrac{\pi}{3}\)能使得函數\(y=\sin(\omega x+\phi)\)取到\(0\)，\(\quad\)，\(k\in \Z\)；
分析：由任意\(x\)都有\(f(\cfrac{\pi}{4}+x)=f(\cfrac{\pi}{4}-x)\)成立，可知\(x=\cfrac{\pi}{4}\)為函數的一條對稱軸，
而正弦型或余弦型函數在對稱軸處必然會取到最值，故\(f(\cfrac{\pi}{4})=\pm 2\)，選\(B\)。
解后反思：此題目如果不注意函數的性質，往往會想到求\(\omega\)和\(\phi\)，這樣思路就跑偏了。
分析：\(f(x)=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1\)，
法1：比較繁瑣，令\(2x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，\(k\in Z\)，則\(x=\cfrac{k\pi}{2}+\cfrac{\pi}{6}\)，\(k\in Z\)，即對稱軸有無數條，
令\(k=0\)，得到其中的一條對稱軸為\(x=\cfrac{\pi}{6}\)，當\(k\)取其他的值時，都不能得到其他的選項，故選\(B\)。
法2：比較簡單，利用函數在對稱軸處的函數值能取到最值，故只需驗證即可，
比如，將\(x=\cfrac{\pi}{12}\)代入\(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，即\(sin\cfrac{\pi}{3}\)，並不能使得其取到最值\(\pm 1\)，故舍去\(A\)；
將\(x=\cfrac{\pi}{6}\)代入\(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，即\(sin\cfrac{\pi}{2}\)，能使得其取到最大值\(1\)，則\(B\)必然滿足；
用同樣的方法可以驗證其余的選項錯誤；綜上所述，故選\(B\).
解析：法1，驗證函數 \(y=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\)的對稱性的思路之一：
在函數 \(y=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\) 的圖象上任取一點 \((a, b)\)， 則 \(b=\log_{2}\cfrac{2a}{4-a}\)，
則點 \((a, b)\)關於點 \((2,1)\) 的對稱點的坐標為 \((4-a,2-b)\)，
[注意，此時不能直接將點 \((4-a,2-b)\) 代入函數\(y=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\)，原因是我們並不知道點 \((4-a,2-b)\) 在不在這個函數圖像上]
又由於 \(b=\log_{2}\cfrac{2a}{4-a}\)， 得到 \(-b=\log_{2}\cfrac{4-a}{2a}\)，
故\(2-b=2+\log_{2}\cfrac{4-a}{2a}=\log_{2}\cfrac{2(4-a)}{a}=\log_{2}\cfrac{2(4-a)}{4-(4-a)}\)，
即點 \((4-a,2-b)\) 在函數\(y=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\)上 ，
由於點 \((a,b)\) 的任意性，可知函數圖象的對稱中心為\((2, 1)\)， 故 (5) 正確.
法2，驗證函數 \(y=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\)的對稱性的思路之二：
由於 \(y=f(x)=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\)，
故 \(f(4-x)=\log _{2}\cfrac{2(4-x)}{4-(4-x)}=\log _{2}\cfrac{2(4-x)}{x}\)，
則\(f(x)+f(4-x)=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}+\log _{2}\cfrac{2(4-x)}{x}=\log_{2}4=2\)，
即函數滿足 \(f(x)+f(4-x)=2\)，故函數 \(y=f(x)\) 關於點 \((2,1)\) 對稱；
典例剖析
分析：由於函數不能快速轉化為正[余]弦型函數，故采用具有普適性的對稱性判定依據；
解: 對於選項 \(A\)而言，因為函數定義域為\(R\)， 所以由 \(f(x)=\sin x\cos^{2}x\)，
可得 \(f(-x)=-\sin x\cos^{2}x=-f(x)\)，所以函數是奇函數；
又 \(f(x+2\pi)=\sin(x+2\pi)\cos^{2}(x+2\pi)=\sin x\cos^{2}x=f(x)\)，
所以函數是周期函數[雖然說我們對函數的最小正周期暫時不太清楚]，故選項\(A\) 正確；
對於選項 \(C\)而言， 因為\(f(\pi-x)=\sin(\pi-x)\cos^{2}(\pi-x)=\sin x\cos^{2}x=f(x)\)，
所以函數關於 \(x=\cfrac{\pi}{2}\) 對稱， 故選項\(C\) 正確；
對於選項 \(D\)而言，因為 \(f(2\pi-x)=\sin(2\pi-x)\cos^{2}(2\pi-x)=-\sin x\cos^{2}x=-f(x)\)，
所以函數關於 \((\pi, 0)\) 對稱，故選項\(D\) 正確；
對於選項 \(B\)而言，令\(\sin x=t\in [-1,1]\)，
則\(f(x)=t(1-t^2)=-t^3+t=g(t)\)，\(t\in [-1,1]\)，轉而求\(g(x)\)的最大值；
\(g'(x)=-3t^2+1\)，令\(-3t^2+1>0\)，得到\(-\cfrac{\sqrt{3}}{3}<t<\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，
令\(-3t^2+1<0\)，得到 \(-1<t<-\cfrac{\sqrt{3}}{3}\) 或 \(\cfrac{\sqrt{3}}{3}<t<1\)，
故函數在\([-1,-\cfrac{\sqrt{3}}{3}]\)上單調遞減，在\([-\cfrac{\sqrt{3}}{3},\cfrac{\sqrt{3}}{3}]\)上單調遞增，
在\([\cfrac{\sqrt{3}}{3},1]\)上單調遞減，且\(f(-1)=f(1)=f(0)=0\)，
故當\(t=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)時，\(g(x)_{\max}=g(\cfrac{\sqrt{3}}{3})=\cfrac{2\sqrt{3}}{9}\)；即\(f(x)_{max}=\cfrac{2\sqrt{3}}{9}\)
綜上所述，故選\(B\).