前言
常用結論
-
函數\(f(x)=sinx\)，\(g(x)=Asinx\)，\(h(x)=sin\omega x\)，\(f(x)=Asin\omega x\)都是奇函數；
-
函數\(f(x)=cosx\)，\(g(x)=Acosx\)，\(h(x)=cos\omega x\)，\(f(x)=Acos\omega x\)都是偶函數；
-
函數\(f(x)=Asin(\omega x+\phi)\)為奇函數，則需要\(sin\phi=0\)，或者\(\phi=k\pi，k\in Z\)；
-
函數\(f(x)=Asin(\omega x+\phi)\)為偶函數，則需要\(sin\phi=\pm 1\)，或者\(\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{2}，k\in Z\)；
高階鏈接
對稱性
分析：這種方法可以求得函數的一族對稱軸方程和一族對稱中心坐標；
令\(2x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)，
解得對稱軸方程為：\(x=\cfrac{k\pi}{2}+\cfrac{\pi}{6}(k\in Z)\)，
求對稱中心，先利用\(y=sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)求對稱中心，最后補充\(+1\)；
令\(2x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi(k\in Z)\)，解得\(x=\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{12}(k\in Z)\)，
故對稱中心坐標為\((\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{12}，1)(k\in Z)\)
分析：驗證法，先變形得到\(f(x)=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1\)，利用函數在對稱軸處的函數值能取到最值，故只需驗證即可，
比如，將\(x=\cfrac{\pi}{12}\)代入\(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，即\(sin\cfrac{\pi}{3}\)，並不能使得其取到最值\(\pm 1\)，故舍去\(A\)；
將\(x=\cfrac{\pi}{6}\)代入\(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，即\(sin\cfrac{\pi}{2}\)，能使得其取到最值\(+1\)，故\(B\)必然滿足；用同樣的方法可以驗證其余的選項錯誤；
分析：\(f(x)=sinx+acosx=\sqrt{a^2+1}sin(x+\phi)，tan\phi =a\)，
由題目可知，\(\cfrac{5\pi}{3}+\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，
故\(\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{5\pi}{3}=k\pi-\cfrac{7\pi}{6}\)，
由於\(\phi\)的值只需要考慮其存在性，故從簡原則，
令\(k=1\)，\(\phi=-\cfrac{\pi}{6}\)，從而\(a=tan\phi=tan(-\cfrac{\pi}{6})=-\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，
所以\(g(x)=-\cfrac{\sqrt{3}}{3}sinx+cosx=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}sin(x+\theta)，tan\theta=-\sqrt{3}\)，
故\(g(x)_{max}=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\).
典型例題
分析：由任意\(x\)都有\(f(\cfrac{\pi}{4}+x)=f(\cfrac{\pi}{4}-x)\)成立，可知\(x=\cfrac{\pi}{4}\)為函數的一條對稱軸，
而正弦型或余弦型函數在對稱軸處必然會取到最值，故\(f(\cfrac{\pi}{4})=\pm 2\)，選B。
解后反思：此題目如果不注意函數的性質，往往會想到求\(\omega\)和\(\phi\)，這樣思路就跑偏了。
分析：\(f(x)=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1\)，
法1：比較繁瑣，令\(2x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，\(k\in Z\)，則\(x=\cfrac{k\pi}{2}+\cfrac{\pi}{6}\)，\(k\in Z\)，即對稱軸有無數條，
令\(k=0\)，得到其中的一條對稱軸為\(x=\cfrac{\pi}{6}\)，當\(k\)取其他的值時，都不能得到其他的選項，故選\(B\)。
法2：比較簡單，利用函數在對稱軸處的函數值能取到最值，故只需驗證即可，
比如，將\(x=\cfrac{\pi}{12}\)代入\(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，即\(sin\cfrac{\pi}{3}\)，並不能使得其取到最值\(\pm 1\)，故舍去\(A\)；
將\(x=\cfrac{\pi}{6}\)代入\(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，即\(sin\cfrac{\pi}{2}\)，能使得其取到最值\(+1\)，故\(B\)必然滿足；用同樣的方法可以驗證其余的選項錯誤；
分析：只需要考慮函數\(y=cos(2x+\cfrac{\pi}{6})\)的對稱性即可，由\(2x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi\)，\(k\in Z\)，
得到對稱軸\(x=\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{12}\)，由題可知，對稱軸必須在\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)內，令\(k=1\)，得到對稱軸為\(x=\cfrac{5\pi}{12}\)，
又兩個零點\(x_1\)和\(x_2\)關於對稱軸\(x=\cfrac{5\pi}{12}\)對稱，故\(x_1+x_2=\cfrac{5\pi}{6}\)，故選\(C\)。
分析：\(y=f(x)=\sqrt{a^2+1}sin(x+\phi)\)，其中\(tan\phi=\cfrac{1}{a}\)，
由函數\(f(x)=asinx+cosx\)的圖像關於直線\(x=\cfrac{\pi}{6}\)對稱，可知\(\phi=\cfrac{\pi}{3}\)，
則\(a=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，又\(g(x)=sinx+\cfrac{\sqrt{3}}{3}cosx=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}sin(x+\cfrac{\pi}{6})\)，
逐項驗證，可知選\(D\)。
分析：正切函數的對稱中心不一定能用驗證法，有時候對稱中心不在函數圖像上。
由\(x+\cfrac{\pi}{3}=\cfrac{k\pi}{2}(k\in Z)\)，解得\(x=\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{3}(k\in Z)\)
令\(k=1\)，則\(x=\cfrac{\pi}{6}\)，故函數\(y=\tan(x+\cfrac{\pi}{3})\)的圖像關於點\((\cfrac{\pi}{6},0)\)成中心對稱，正確；