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模塊導圖
知識剖析
函數奇偶性的概念
① 一般地，設函數\(f(x)\)的定義域為\(I\)，如果\(∀x∈I\)，都有\(-x∈I\)，且\(f(-x)=f(x)\)，那么函數\(f(x)\)就叫做偶函數.
② 一般地，設函數\(f(x)\)的定義域為\(I\)，如果\(∀x∈I\)，都有\(-x∈I\)，且\(f(-x)=-f(x)\)，那么函數\(f(x)\)就叫做奇函數.
由奇偶函數的概念可知道其定義域\(I\)是關於原點對稱的.
性質
① 偶函數關於\(y\)軸對稱；
② 奇函數關於原點對稱；
③ 若奇函數\(f(x)\)定義域內含有\(0\)，則\(f(0)=0\)；
④ 在公共定義域內，兩個偶函數(或奇函數)的和(或差)仍是偶函數(或奇函數)，兩個偶函數(或奇函數)的積(或商)是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積(或商)是奇函數．
判斷函數奇偶性的方法
① 定義法
先判斷定義域是否關於原點對稱，再求\(f(-x)\), 看下與\(f(x)\)的關系：若\(f(-x)=f(x)\)，則\(y=f(x)\)是偶函數；若\(f(-x)=-f(x)\)，則\(y=f(x)\)是奇函數.
② 數形結合
若函數關於原點對稱，則函數是奇函數；若函數關於\(y\)軸對稱，則函數是偶函數.
③ 取特殊值排除法(選擇題)
比如：若根據函數得到\(f(1)≠f(-1)\)，則排除\(f(x)\)是偶函數.
④ 性質法
偶函數的和、差、積、商(分母不為\(0\))仍為偶函數；奇函數的和、差 (分母不為\(0\))仍為奇函數；
奇(偶)數個奇函數的積為奇(偶)函數；兩個奇函數的商(分母不為\(0\))為偶函數；
一個奇函數與偶函數的積為奇函數.
對於復合函數\(F(x)=f(g(x))\)的奇偶性如下圖
經典例題
【題型一】對函數奇偶性概念的理解
角度1 函數奇偶性的概念
【典題1】 已知\(f(x)=ax^2+bx\)是定義在\([a-1 ,2a]\)上的偶函數，那么\(a+b\)的值是\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】 依題意得\(f(-x)=f(x)\)，\(∴b=0\)，
又\(a-1=-2a\)\({\color{Red}{(奇偶函數的定義域關於原點對稱) }}\)
\(\therefore a=\dfrac{1}{3}\)，\(\therefore a+b=\dfrac{1}{3}\)．
【典題2】 \(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數，下列結論中，不正確的是________：
\((1)f(-x)+f(x)=0\)
\((2)f(-x)-f(x)=-2 f(x)\)
\((3)f(x)⋅f(-x)≤0\)
\((4) f(x)/f(-x) =-1\)
【解析】 根據奇函數的定義可知\(f(-x)=-f(x)\)，則\((1)\)，\((2)\)正確；
對於\((3)\)，\(f(x)f(-x)=-f^2 (x)≤0\), 故正確；
對於\((4)\)，\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數，則\(f(0)=0\), 則\((4)\)不正確，
故答案為：\((4)\).
角度2 判斷函數的奇偶性
\({\color{Red}{情況1\quad 具體函數的奇偶性判斷}}\)
【典題1】 函數\(f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{|x+3|-3}\)的圖象關於\(\underline{\quad \quad }\)對稱．
【解析】 要使函數有意義，
則\(\left\{\begin{array}{c} 4-x^{2} \geq 0 \\ |x+3|-3 \neq 0 \end{array}\right.\)，
解得\(-2<x<0\)或\(0<x<2\)，
則定義域關於原點對稱．
此時\(|x+3|=x+3\)，
則函數\(f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{|x+3|-3}=\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{x+3-3}=\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}\)
\({\color{Red}{(化簡函數形式很重要)}}\)
\(\because f(-x)=-\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}=-f(x)\)，
\(∴\)函數\(f(x)\)是奇函數，圖象關於原點對稱，
【點撥】 本題利用定義法判斷函數的奇偶性，首先判斷定義域是否關於原點對稱，這點很重要；
\({\color{Red}{情況2 \quad 抽象函數的奇偶性判斷}}\)
【典題1】 設\(f(x)\)是\(R\)上的任意函數，則下列敘述正確的是( )
A.\(f(x) f(-x)\)是奇函數 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(f(x) |f(-x)|\)是奇函數
C.\(f(x)- f(-x)\)是奇函數 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(f(x) +f(-x)\)是奇函數
【解析】 \({\color{Red}{方法一\quad 定義法}}\)
\(A\)選項：設\(F(x)=f(x)f(-x)\)，
則\(F(-x)=F(x)\)為偶函數．
\(B\)選項：設\(G(x)=f(x)|f(-x)|\)，
則\(G(-x)=f(-x)|f(x)|\).
\(∴G(x)\)與\(G(-x)\)關系不定．
\(C\)選項：設\(M(x)=f(x)-f(-x)\),
\(∴M(-x)=f(-x)-f(x)=-M(x)\)，
\(∴M(x)\)為奇函數．
\(D\)選項：設\(N(x)=f(x)＋f(-x)\),
則\(N(-x)=f(-x)＋f(x)\)，\(∴N(x)\)為偶函數．
故選\(C\).
\({\color{Red}{方法二 \quad 取特殊函數排除法}}\)
令\(f(x)=x\)，可知\(F(x)=f(x)f(-x)=x^2\)是偶函數，排除\(A\)，
令\(f(x)=x^2\)，可知\(F(x)=f(x)|f(-x)|=x^4\)是偶函數，排除\(B\)，
可知\(N(x)=f(x)＋f(-x)=2x^2\)是偶函數，排除\(D\).
故選\(C\).
【點撥】
① 判斷函數的奇偶性，一般利用定義法：先判斷定義域是否關於原點對稱，再求\(f(-x)\)，看下與\(f(x)\)的關系.偶爾結合函數圖像也可以.
② 判斷抽象函數的奇偶性時，可以通過“取特殊函數排除法”.
③ 一般情況下，奇函數+奇函數=奇函數，偶函數+偶函數=偶函數，奇函數×奇函數=偶函數，偶函數×偶函數=偶函數.
鞏固練習
1(★)下列函數中，是偶函數的是( )
A．\(y=|x^2+x|\)\(\qquad \qquad\) B．\(y=2^{|x|}\) \(\qquad \qquad\) C．\(y=x^3+x\) \(\qquad \qquad\) D．\(y=lgx\)
2(★)函數\(f(x)=\dfrac{9^{x}+1}{3^{x}}\)的圖象關於( )對稱
A．原點 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(y=x\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(x\)軸 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(y\)軸
3(★★)若函數\(f(x)\)的定義域是\(R\)，且對任意\(x\),\(y∈R\)，都有\(f(x＋y)=f(x)＋f(y)\)成立．試判斷\(f(x)\)的奇偶性．
參考答案
1.\(B\)
2.\(D\)
3.奇函數
【題型二】函數奇偶性的運用
角度1 已知函數奇偶性，求值問題
【典題1】 設\(f(x)\)為定義上\(R\)上的奇函數，當\(x≥ 0\)時，\(f(x)=2^x+2x+b\)(\(b\)為常數)，求\(f(-1)\).
【解析】 因為\(f(x)\)為定義在\(R\)上的奇函數，
所以\(f(0)=0⇒2^0＋2×0＋b=0\)，
解得\(b=-1\)，
所以當\(x≥0\)時，\(f(x)=2^x＋2x-1\),
又因為\(f(x)\)為定義在\(R\)上的奇函數，
所以\(f(-1)=-f(1)=-(2^1+2× 1-1)=-3\)，故選\(A\)．
【點撥】 若奇函數\(y=f(x)\)定義域內為\(I\)，且\(0∈I\)，則有\(f(0)=0\).
【典題2】 若函數\(F(x)=f(x)-2x^4\)是奇函數，\(G(x)=f(x)+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\)為偶函數，
則\(f(-1)=\)\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】 \(∵\)函數\(F(x)=f(x)-2x^4\)是奇函數，
\(∴F(1)+F(-1)=0\)，
即\(f(1)-2+f(-1)-2=0\)，
則\(f(1)+f(-1)=4\)①，
\(∵G(x)=f(x)+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\)為偶函數，
\(∴G(1)=G(-1)\)，即\(f(1)+\dfrac{1}{2}=f(-1)+2\)，
則\(f(1)-f(-1)=\dfrac{3}{2}\)②，
由①-②解得\(f(-1)=\dfrac{4-\dfrac{3}{2}}{2}=\dfrac{5}{4}\)．
角度2 判斷函數的圖像
【典題1】 函數\(f(x)=\dfrac{x^{3}}{2^{-x}-2^{x}}\)的圖象大致為( )
【解析】 函數的定義域為\(\{x|x≠0\}\)關於原點對稱，
且\(f(-x)=\dfrac{-x^{3}}{2^{x}-2^{-x}}=\dfrac{x^{3}}{2^{-x}-2^{x}}=f(x)\)，
\({\color{Red}{(或由y=x^3,y=2^{-x}-2^x均是奇函數，得f(x)=\dfrac{x^{3}}{2^{-x}-2^{x}}是偶函數)}}\)
即函數\(f(x)\)為偶函數，其圖象關於\(y\)軸對稱，可排除\(CD\)；
又\(f(1)=\dfrac{1}{2^{-1}-2}=-\dfrac{2}{3}<0\)，可排除\(A\)；
故選：\(B\)．
【點撥】 選擇題中判斷函數的圖像，可采取排除法，主要是研究函數性質(定義域、值域、奇偶性、單調性等)、取特殊值等手段進行排除選項！其中取特殊值排除法最簡單.
鞏固練習
1(★)若函數\(f(x)=\dfrac{2^{x}-a}{2^{x}+1}\)的圖象關於\(y\)軸對稱，則常數\(a=\)\(\underline{\quad \quad }\) .
2(★)已知函數\(f(x)=x^5-ax^3+bx+2\)，\(f(-5)=17\)，則\(f(5)\)的值是\(\underline{\quad \quad }\).
3(★★)已知函數\(f(x)=g(x+1)-2^x\)為定義在\(R\)上的奇函數，則\(g(0)+g(1)+g(2)=\)\(\underline{\quad \quad }\).
4(★★)函數\(f(x)=\dfrac{\left(3^{x}-1\right) \ln x^{2}}{3^{x}+1}\)的部分圖象大致為 ( )
參考答案
1.\(-1\)
2.\(-13\)
3.\(\dfrac{7}{2}\)
4.\(B\)
【題型三】函數的奇偶性與單調性的綜合
【典題1】 已知奇函數\(y=f(x)\)在\((-∞ ,0)\)為減函數，且\(f(2)=0\)，則不等式
\((x-1)f(x-1)>0\)的解集為 ( )
A．\(\{x \mid-3<x<-1\}\)
B．\(\{x \mid-3<x<1 \text { 或 } x>2\}\)
C．\(\{x \mid-3<x<0 \text { 或 } x>3\}\)
D．\(\{x \mid-1<x<1 \text { 或 } 1<x<3\}\)
【解析】 由題意畫出\(f(x)\)的草圖如下，
因為\((x-1)f(x-1)>0\)，所以\((x-1)\)與\(f(x-1)\)同號，
由圖象可得\(-2<x-1<0\)或\(0<x-1<2\)，
解得\(-1<x<1\)或\(1<x<3\)，
故選：\(D\)．
【點撥】 涉及到函數奇偶性和單調性綜合的題目，多利用數形結合的方法進行理解，對每個條件要等價轉化，做到有根有據的，不能“想當然”.
【典題2】 設函數\(f(x)=lg(x^2+1)\)，則使得\(f(3x-2)>f(x-4)\)成立的\(x\)的取值范圍為( )
A．\(\left(\dfrac{1}{3}, 1\right)\) \(\qquad \qquad\) B．\(\left(-1, \dfrac{3}{2}\right)\) \(\qquad \qquad\) C．\(\left(-\infty, \dfrac{3}{2}\right)\) \(\qquad \qquad\) D．\((-\infty,-1) \cup\left(\dfrac{3}{2},+\infty\right)\)
【解析】 \({\color{Red}{方法一}}\)
\(∵f(x)=lg(x^2+1)\)
\(∴\)由\(f(3x-2)>f(x-4)\)
得\(lg[(3x-2)^2+1]>lg[(x-4)^2+1]\)，\({\color{Red}{(代入原函數暴力求解)}}\)
則\((3x-2)^2+1>(x-4)^2+1\)，
解得\(x<-1\)或\(x>\dfrac{3}{2}\).
\({\color{Red}{方法二}}\)
根據題意，函數\(f(x)=lg(x^2+1)\)，其定義域為\(R\)，
有\(f(-x)=lg(x^2+1)=f(x)\)，
即函數\(f(x)\)為偶函數，
設\(t=x^2+1\)，則\(y=lgt\)，
在區間\([0 ,+∞)\)上，\(t=x^2+1\)為增函數且\(t≥1\)，\(y=lgt\)在區間\([1 ,+∞)\)上為增函數，
則\(f(x)=lg(x^2+1)\)在\([0 ,+∞)\)上為增函數，
\(f(3x-2)>f(x-4)\)\(⇒f(|3x-2|)>f(|x-4|)\)\(⇒|3x-2|>|x-4|\)，
解得\(x<-1\)或\(x>\dfrac{3}{2}\)，
故選：\(D\)．
【點撥】
① 若函數\(y=f(x)\)是偶函數，則函數在\(y\)軸兩側的單調性是相反的，
若函數\(y=f(x)\)是奇函數，則函數在\(y\)軸兩側的單調性是相同的，
② 若函數\(y=f(x)\)是偶函數，在\([0 ,+∞)\)上遞增，
則求解\(f(x_2)>f(x_1)\)等價於解不等式\(|x_2 |>|x_1 |\)，不要漏了絕對值.(如下圖所示).
③ 遇到類似\(f(3x-2)>f(x-4)\)的函數不等式，一般都是利用函數的單調性處理.
鞏固練習
1(★)下列函數中，既是偶函數，又在\((0，+∞)\)上單調遞增的是( )
A．\(f(x)=1-x^2\)\(\qquad \qquad\) B．\(f(x)=x-\dfrac{1}{x}\)\(\qquad \qquad\)C．\(f(x)=\log _{\frac{1}{2}}|x|\) \(\qquad \qquad\)D．\(f(x)=2^{|x|}\)
2(★)如果奇函數\(f(x)\)在區間\([1 ,5]\)上是減函數，且最小值為\(6\)，那么\(f(x)\)在區間\([-5 ,-1]\)上是 ( )
A．減函數且最大值為\(-6\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．增函數且最大值為\(6\)
C．減函數且最小值為\(-6\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．增函數且最小值為\(-6\)
3(★★)已知函數\(f(x)=x^3+2x\)，則不等式\(f(2x)+f(x-1)>0\)的解集為\(\underline{\quad \quad }\) .
4(★★)已知函數\(f(x)=ln|x|+x^2\)，設\(a=f(-2)\),\(b=f(1)\),\(c=f(2^{0.3})\)，則\(a,c,b\)的大小關系\(\underline{\quad \quad }\).
5(★★★)已知\(f(x)\)是\(R\)上的奇函數且單調遞增，則下列函數是偶函數且在\((0 ,+∞)\)上單調遞增的有\(\underline{\quad \quad }\).
①\(y=|f(x)|\)；②\(y=f(x^2+x)\)；
③\(y=f(|x|)\)；④\(y=e^{f(x)} +e^{-f(x)}\)．
參考答案
1.\(D\)
2.\(A\)
3.\(\left(\dfrac{1}{3},+\infty\right)\)
4.\(a>c>b\)
5.①③④