前言
當你學習了本篇博文后，如果感覺還需要深入學習，可以閱讀函數的奇偶性習題；函數的奇偶性周期性習題；
常用給出
- 1、直接給出；
如函數\(f(x)\)在某區間\(D\)上是奇函數。
- 2、以定義式給出；
如\(\forall x \in D，f(-x)=- f(x)\)，則它是奇函數。
\(\forall x \in D，f(-x)= f(x)\)，則它是偶函數，或函數滿足\(f(|x|)=f(x)\)，則它是偶函數；
- 3、定義的變形式給出；
如\(\forall x \in D，f(-x) \pm f(x)=0\)，\(\cfrac{f(-x)}{f(x)}=\pm 1(f(x)\neq0)\)。引申說明[1]
- 4、以圖像的形式【或分段函數的形式】給出；
比如某函數圖像關於原點對稱，某函數圖像關於\(y\)軸對稱；做出分段函數圖像即可知奇偶性。
- 5、以奇偶性的性質應用的結論形式給出；
在公共定義域上，以下結論是成立的，也是可以證明的；常用例子，注意識記。
“奇函數”\(+\)“奇函數”是“奇函數”；簡單證明：[2]
如\(f(x)=x+sinx\)；\(g(x)=x^3+2sinx\)；\(h(x)=x+\cfrac{1}{x}\)；\(h(x)=2x+\cfrac{3}{x}\)；
“奇函數”\(-\)“奇函數”是“奇函數”；
如\(f(x)=x^3-sinx\)；\(h(x)=x-\cfrac{2}{x}\)；
“奇函數”\(\times\)“奇函數”是“偶函數”；
如\(f(x)=x\cdot sinx\)；\(f(x)=x^3sinx\)；
“奇函數”\(÷\)“奇函數”是“偶函數”；
如\(f(x)=\cfrac{sinx}{x}\)；
“偶函數”\(+\)“偶函數”是“偶函數”；“偶函數\(-\)偶函數”是“偶函數”；
“偶函數”\(\times\)“偶函數”是“偶函數”；“偶函數”\(÷\)“偶函數”是“偶函數”；
“奇函數”\(\times\)“偶函數”是“奇函數”；“奇函數”\(÷\)“偶函數”是“奇函數”；
- 函數\(f(x)\)與\(k\cdot f(x)\)，\(\cfrac{k}{f(x)}(k\neq 0，f(x)\neq 0)\)具有相同的奇偶性，
如\(f(x)\)為偶函數，則可知函數\(g(x)=xf(x)\)為奇函數。
- 特例，原來沒有奇偶性的函數，進行四則運算后，又有了奇偶性。
如\(f(x)=e^x+\cfrac{1}{e^x}=e^x+e^{-x}\)，偶函數；如\(f(x)=e^x-\cfrac{1}{e^x}=e^x-e^{-x}\)，奇函數；
高階給出
- 6、以整體與部分具有奇偶性的形式給出，
比如，函數\(f(x)=x+sinx\)整體具有奇偶性，是奇函數，
但是函數\(g(x)=x+sinx+1\)整體不具有奇偶性，但其組成部分\(y=x+sinx\)卻具有奇偶性。
解析:注意，整個函數\(f(x)=a\sin x+b\sqrt[3]{x}+4\)不具有奇偶性，但是其中的組成部分\(y=a\sin x\)和\(y=b\sqrt[3]{x}\)卻是有奇偶性的，
由\(f(x)=a\sin x+b\sqrt[3]{x}+4\)，我們得到，
則\(f(-x)=-a\sin x-b\sqrt[3]{x}+4\)，所以\(f(x)+f(-x)=8\)，
由於 \(f(\lg\cfrac{1}{3})=f(-\lg3)\)，
因此\(f(\lg3)+f(-\lg3)=8\)，則\(3+f(-\lg 3)=8,\)
所以\(f(-\lg3)=5\)，故\(f(lg\cfrac{1}{3})=f(-\lg3)=5\)，故選\(C\)。
- 7、以圖像變換為依托給出，
如\(f(x-1)\)的對稱軸是\(x=1\)，則可知\(f(x)\)的對稱軸是\(y\)軸，即\(f(x)\)是偶函數；
- 8、以積函數的形式給出；[3]
- 9、以周期性和對稱性結合給出奇偶性；
已知函數\(f(x)\)的周期是2，且滿足\(f(2+x)=f(-x)\)，則可推知函數\(f(x)\)為偶函數。
具體變形如下：由\(f(x+2)=f(x)\)和\(f(2+x)=f(-x)\)，得到\(f(-x)=f(x)\)，故函數\(f(x)\)為偶函數。
- 10、以復合函數的形式給出；
若\(f(x)\)為奇函數，\(g(x)\)為偶函數，則\(f(g(x))\)為偶函數，\(g(f(x))\)也為偶函數；奇偶復合后為偶函數；[4]
若\(f(x)\)為偶函數，\(g(x)\)為偶函數，則\(f(g(x))\)為偶函數，\(g(f(x))\)也為偶函數；偶偶復合后為偶函數；
若\(f(x)\)為奇函數，\(g(x)\)為奇函數，則\(f(g(x))\)為奇函數，\(g(f(x))\)也為奇函數；奇奇復合后為奇函數；[5]
- 11、以結合賦值法給出；
已知函數\(f(x)\)滿足\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，且\(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)\)，則可推知函數\(f(x)\)為偶函數。[6]
常用結論
1．奇偶性的幾個重要結論
- (0)如果函數\(f(x)\)為奇函數且有最值，則\(f(x)_{max}+f(x)_{min}=0\).
如定義在\([-1，1]\)上的奇函數\(f(x)=x^3+x\)，則\(f(x)_{max}+f(x)_{min}=0\).
-
(1)如果一個奇函數\(f(x)\)在原點處有定義，即\(f(0)\)有意義，那么一定有\(f(0)＝0\)。
-
(2)如果函數\(f(x)\)是偶函數，那么\(f(x)＝f(|x|)\)，在求解抽象不等式時使用頻度很高。
-
(3)既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型，即\(f(x)＝0\)，\(x∈D\)，其中定義域\(D\)是關於原點對稱的非空數集．
-
(4)奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性．
-
(5)偶函數在關於原點對稱的區間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數；
奇函數在關於原點對稱的區間上的最值互為相反數，取最值時的自變量也互為相反數．
-
(6)既奇又偶的函數僅僅只有一類，\(f(x)=0\)，\(x\in D\)，\(D\)是關於原點對稱的定義域，可以是離散取值的，也可以是連續取值的。
-
(7)函數有奇偶性的前提是定義域關於原點對稱，利用這一點可以求參數的值。
如定義在\([a，b]\)上的奇函數\(f(x)\)，則可知\(a+b=0\)，若其定義在\([2a-1，3a]\)上，則有\((2a-1)+3a=0\)，解得\(a=\cfrac{1}{5}\)；
2、二次函數\(y=ax^2+bx+c(a\neq0)\) 為偶函數的充要條件是\(b=0\) ，
證明：對稱軸為\(x=-\cfrac{b}{2a}\)，
充分性：由\(b=0\)，得到對稱軸為\(x=0\)，即就是\(y\)軸。
必要性：由函數為偶函數，對稱軸是\(x=-\cfrac{b}{2a}\)， 得到\(b=0\)。
由此推廣得到以下結論：
3、多項式函數\(y=f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 為奇函數的充要條件是\(a=c=e=0\)
說明： \(f(-x)+f(x)=0\)恆成立，
即\([a(-x)^4+b(-x)^3+c(-x)^2+d(-x)+e]+(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)\)
\(=2ax^4+2cx^2+2e=0\)，
即\(ax^4+cx^2+e=0\)對\(\forall x\in R\)都成立，故\(a=c=e=0\)。
比如，已知函數\(f(x)=x^3+(a-1)x^2+ax\)為奇函數，則\(a=1\)；
4、多項式函數\(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 為偶函數的充要條件是\(b=d=0\)
仿上例可說明。
5、奇函數的導函數為偶函數；
文科：舉例說明，比如函數\(f(x)=sinx\)為奇函數，其導函數為\(f'(x)=cosx\)為偶函數；
理科：邏輯證明，設函數\(f(x)\)為奇函數，其導函數\(f'(x)\)，
記\(f'(x)=g(x)\)，由函數\(f(x)\)為奇函數，
則有\(f(-x)+f(x)=0\)，對其兩邊求導得到，
\(-f'(-x)+f'(x)=0\)，即\(-g(-x)+g(x)=0\)，
即\(g(-x)=g(x)\)，
即函數\(g(x)\)為偶函數；
6、偶函數的導函數為奇函數；
文科：舉例說明，比如函數\(f(x)=cosx\)為偶函數，其導函數為\(f'(x)=-sinx\)為奇函數；
理科：邏輯證明，設函數\(f(x)\)為偶函數，其導函數為\(f'(x)\)，
記\(f'(x)=g(x)\)，由函數\(f(x)\)為偶函數，
則有\(f(-x)-f(x)=0\)，對其兩邊求導得到，
\(-f'(-x)-f'(x)=0\)，即\(-g(-x)-g(x)=0\)，
即\(g(-x)=-g(x)\)，
即函數\(g(x)\)為奇函數；
【應用舉例】已知函數\(f(x)=(x^2+1)(ax^2+b)\)，且其導函數為\(f'(x)\)，已知\(f'(1)=2\)，求\(f'(-1)\)的值。
法1：計算法，將\(f(x)\)打開再求導；
法2：性質法，由於函數\(f(x)\)為偶函數，故\(f'(x)\)為奇函數，
則有\(f'(-1)=-f'(1)=-2\)。
7、若函數為奇函數，則在其關於原點對稱的兩點處的導函數的值相等。
文科：如\(f(x)=x^3\)，則\(f'(x)=3x^2\)，故\(f'(-1)=f'(1)=3\)；
理科：如函數\(f(x)\)滿足\(f(-x)+f(x)=0\)，則給兩邊求導得到，
\(-f'(-x)+f'(x)=0\)，則有\(f'(x_0)-f'(-x_0)=0\)
引申：對稱性，若函數\(f(x)+f(2-x)=2\)，則函數\(f(x)\)關於點\((1，1)\)對稱，
且\(f'(x_0)=f'(2-x_0)\)，比如\(f'(0)=f'(2)\)；
8、若函數為偶函數，則在其關於原點對稱的兩點處的導函數的值互為相反數。
文科：如\(f(x)=x^2\)，則\(f'(x)=2x\)，故\(f'(-1)=-2，f'(1)=2\)；
理科：如函數\(f(x)\)滿足\(f(-x)-f(x)=0\)，則給兩邊求導得到，
\(-f'(-x)-f'(x)=0\)，則有\(f'(x_0)+f'(-x_0)=0\)
引申：對稱性，若函數\(f(x)=f(2-x)\)，則函數\(f(x)\)關於直線\(x=1\)對稱，
且\(f'(x_0)=-f'(2-x_0)\)，比如\(f'(0)=-f'(2)\)；
9、定義為對稱區間上的任何函數都可以表示成一個偶函數和一個奇函數之和。
證明：若\(f(x)\)為定義在\((-m，m)\)上的任意函數，
可設\(g(x)=\cfrac{f(x)+f(-x)}{2}\)，\(h(x)=\cfrac{f(x)-f(-x)}{2}\)，
容易驗證\(g(-x)=g(x)\)，\(h(-x)=-h(x)\)，
所以\(g(x)\)為偶函數，\(h(x)\)為奇函數，
而\(\cfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\cfrac{f(x)-f(-x)}{2}=f(x)=g(x)+h(x)\)，
故命題得證，即定義為對稱區間上的任何函數都可以表示成一個偶函數和一個奇函數之和。
[反思提升]：此證明過程同時還給出了這個奇函數和偶函數的構造過程，
比如，已知任意函數\(f(x)=e^x\)，
則奇函數為\(h(x)=\cfrac{f(x)-f(-x)}{2}=\cfrac{e^x-e^{-x}}{2}\)，
則偶函數為\(g(x)=\cfrac{f(x)+f(-x)}{2}=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}\)。
分析：由於\(f(-x)=f(x)\)，\(g(-x)=-g(x)\)，
又由於\(f(x)+g(x)=e^x\)①，則\(f(-x)+g(-x)=e^{-x}\)，即\(f(x)-g(x)=e^{-x}\)②，
聯立①②解方程，可得\(g(x)=\cfrac{1}{2}(e^x-e^{-x})\)，故選\(D\)。
注意：雖然說\(f(-x)=-f(x)\)和\(f(-x)+f(x)=0\)是等價的，但是有時候我們感覺二者是有區別的，尤其是涉及到對數型函數的奇偶性的判斷時，更是如此；舉例如下，
引例1，已知定義域為\(R\)的函數\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)，判斷函數\(f(x)\)的奇偶性；
法1：難，\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)=ln(\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x})\)
\(=ln(\sqrt{x^2+1}-x)^{-1}=-ln(\sqrt{x^2+1}-x)=-f(x)\)
即函數\(f(x)\)為奇函數；
備注：\((\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)=1\)；\((\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=1\)；
法2：易，由於\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)，則\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)，
即\(f(x)+f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+ln(\sqrt{x^2+1}+x)=ln1=0\)，即函數\(f(x)\)為奇函數；
引例2，已知函數\(g(x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}+sinx)\)，判斷其奇偶性；
分析：同上例，可知\(g(-x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}-sinx)\)，即\(g(x)+g(-x)=lg1=0\)，即函數\(g(x)\)為奇函數； ↩︎補充簡單的證明。已知\(f(x)、g(x)\)都是奇函數，證明\(H(x)=f(x)+g(x)\)為奇函數；
分析：\(f(x)、g(x)\)都是奇函數，則函數\(H(x)\)的定義域必關於原點對稱，
且滿足\(f(-x)=-f(x)\)，\(g(-x)=-g(x)\)，
則\(H(-x)=f(-x)+g(-x)=-[f(x)+g(x)]=-H(x)\)，
故\(H(x)\)為奇函數。 ↩︎如函數\(f(x)=x\cdot ln(x+\sqrt{a+x^2})\)為偶函數，求\(a\)的值；
分析：由\(f(x)=x\cdot ln(x+\sqrt{a+x^2})\)為偶函數，其中的因子函數\(y=x\)為奇函數，則可知另一個因子函數\(g(x)=ln(x+\sqrt{a+x^2})\)為奇函數，則\(g(-x)+g(x)=0\)恆成立，即\(ln(-x+\sqrt{a+x^2})+ln(x+\sqrt{a+x^2})=0\)，整理得到\(ln(a+x^2-x^2)=0\)，解得\(a=1\)。 ↩︎證明如下：若\(f(x)\)為奇函數，\(g(x)\)為偶函數，
設\(H(x)=f(g(x))\)，則\(H(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=H(x)\)；故\(f(g(x))\)為偶函數；
設\(G(x)=g(f(x))\)，則\(G(-x)=g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x))=G(x)\)；故\(g(f(x))\)為偶函數； ↩︎證明如下：若\(f(x)\)為奇函數，\(g(x)\)為奇函數，
設\(H(x)=f(g(x))\)，則\(H(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))=-H(x)\)；故\(f(g(x))\)為奇函數；
設\(G(x)=g(f(x))\)，則\(G(-x)=g(f(-x))=g(-f(x))=-g(f(x))=-G(x)\)；故\(g(f(x))\)為奇函數； ↩︎具體變形如下：
令\(x=y=0\)，則有\(2f(0)=2f^2(0)\)，得到\(f(0)=0\)或\(f(0)=1\)；
再令\(x=1，y=0\)，則有\(2f(1)=2f(1)f(0)\)，得到\(f(0)=1\)；
又題目已知\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，得到\(f(0)=1\)[\(f(0)=0\)舍去]；
再令\(x=0\)，則得到\(f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)\)，
所以\(f(-y)=f(y)\)，可知函數是偶函數。 ↩︎